Ascisse e Integrali Curvilinei
Salve, mi sto preparando di Analisi Matematica 2 e sono arrivato a studiare le curve. Per tutto quello che viene fino a questo punto non ci sono problemi ma non mi è per niente chiaro il concetto di Ascissa curvilinea e di Integrale di Linea(o curvilineo). Potreste perfavore darmi una spiegazione anche con qualche esempio pratico?
Io ho capito che l'ascissa curvilinea è la lunghezza di un pezzo di curva a partire da un punto fissato $t_0$ fino a un punto t. Che differenza c'è tra l'ascissa curvilinea e la lunghezza di una curva?
L'integrale curvilineao invece non mi è molto chiaro. Praticamente, in fisica, è l'effetto di un campo su una particella che fa un determinato percorso, giusto? Ma in matematica come lo penso? Comsa mi rappresenta il prodotto all'interno dell'integrale $ int_(a)^(b) f(x(t),y(t))sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2 )dt $ tra la funzione a due variabili e la lunghezza della curva tra a e b? (almeno io la radice la interpreto come la lunghezza).
Grazie
Io ho capito che l'ascissa curvilinea è la lunghezza di un pezzo di curva a partire da un punto fissato $t_0$ fino a un punto t. Che differenza c'è tra l'ascissa curvilinea e la lunghezza di una curva?
L'integrale curvilineao invece non mi è molto chiaro. Praticamente, in fisica, è l'effetto di un campo su una particella che fa un determinato percorso, giusto? Ma in matematica come lo penso? Comsa mi rappresenta il prodotto all'interno dell'integrale $ int_(a)^(b) f(x(t),y(t))sqrt((x'(t))^2+(y'(t))^2 )dt $ tra la funzione a due variabili e la lunghezza della curva tra a e b? (almeno io la radice la interpreto come la lunghezza).
Grazie
Risposte
La radice di cui parli (sotto integrale) rappresenta il modulo del vettore tangente.
L' integrale $\int_{a}^{b} sqrt((x'(t)^2+y'(t)^2))dt$ rappresenta la lunghezza di una curva $gamma$, di equazioni parametriche $x(t)$ e $y(t)$, dove $tin[a,b]$, ma scriitto così è un integrale definito, corrispondente all' integrale curvilineo $\int_{gamma}dl$ (da specificare che è di prima specie).
La funzione $f(x(t),y(t))$ può rappresentare ad esempio la densità di massa lungo la curva, e di conseguenza puoi calcolarti la massa totale risolvendo l'integrale da te scritto
L' integrale $\int_{a}^{b} sqrt((x'(t)^2+y'(t)^2))dt$ rappresenta la lunghezza di una curva $gamma$, di equazioni parametriche $x(t)$ e $y(t)$, dove $tin[a,b]$, ma scriitto così è un integrale definito, corrispondente all' integrale curvilineo $\int_{gamma}dl$ (da specificare che è di prima specie).
La funzione $f(x(t),y(t))$ può rappresentare ad esempio la densità di massa lungo la curva, e di conseguenza puoi calcolarti la massa totale risolvendo l'integrale da te scritto
per quanto riguarda la prima domanda, l'ascissa curvilinea è definita come $s(t) := int_a^t ||gamma(t)|| dt $. significa semplicemente questo, o almeno questa è l'idea che mi sono fatto io: se tu ti trovassi sull'asse x, cioè l'asse delle ascisse, e sapessi la lunghezza che hai percorso dall'istante $a$ all'istante $t$, allora sapresti anche l'esatta posizione in cui ti trovi, perchè basta semplicemente sommare la lunghezza alla posizione iniziale $x(a)$ da cui sei partito. l'idea dell'ascissa curvilinea è la stessa: tu ti stai muovendo lungo un percorso prestabilito in un piano, cioè lungo una curva, quindi assumi di partire dal punto iniziale $gamma(a)$. una volta che sai quanta strada hai percorso, sai anche dove ti trovi nel piano: basta sommare le unità di lunghezza seguendo il percorso dato dal sostegno di $gamma$. l'idea è quella di "deformare" l'asse delle ascisse, da cui il nome di ascissa curvilinea
Ok. Grazie per le risposte.
Ricorda inoltre di non confondere i due tipi di integrale curvilineo:
-1a specie: quello citato prima per calcolare la lunghezza di una curva
-2a specie: usato per calcolare il lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Ti faccio un esempio:
$L=\int_gammaP(x,y)dx+Q(x,y)dy$ dato un campo vettoriale $\vec F=(P(x,y),Q(x,y))$
-1a specie: quello citato prima per calcolare la lunghezza di una curva
-2a specie: usato per calcolare il lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Ti faccio un esempio:
$L=\int_gammaP(x,y)dx+Q(x,y)dy$ dato un campo vettoriale $\vec F=(P(x,y),Q(x,y))$
in realtà si possono confondere, a patto di avere curve regolari
"enr87":
in realtà si possono confondere, a patto di avere curve regolari
in che senso intendi che si possono confondere?
Sono cose diverse :
*L'integrale di linea di prima specie di una funzione continua $f$ , lungo una curva $ gamma $ parametrizzata da $vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)), t in [a,b]$ è definito come :
$int_a^b f(vec r(t)) |vec r'(t)|dt $
*L'integrale di linea di seconda specie, lungo $ gamma $ ,del campo $vecF $ [ essendo $vec F=F_1 vec i+ F_2 vec j+F_3 vec k] $ è definito come :
$int_a^b vec F(vec r(t)) *vecr'(t) dt $ [con $*$ = prodotto scalare]
E' diverso il modo in cui il vettore tangente alla curva è coinvolto nell'integrale.
Questa differenza ha una importante conseguenza:
-l'integrale di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione della curva, anche quando la nuova parametrizzazione ne cambia l'orientazione : il risultato cioè non cambia cambiando il verso di percorrenza della curva [ $vec r'(t) $ appare in modulo ]
-l'integrale di seconda specie , invece, cambia di segno se si cambia l'orientazione sulla curva , mentre continua a essere invariante per cambiamenti di parametro che non alterino l'orientazione: il segno dell'integrale, dunque, dipende dal verso di percorrenza della curva.
E' corretto quindi parlare di lavoro di un campo lungo una curva orientata -ad es. lungo una crf percorsa in senso antiorario.
Da notare che la parametrizzazione della curva induce un'orientazione : per cambiarla, occorre cambiare parametrizzazione.
Ad es. la crf. unitaria percorsa in senso orario ha la parametrizzazione :
$vecr(t) =(cos t,-sint) ,t in [0,2pi]$.
*L'integrale di linea di prima specie di una funzione continua $f$ , lungo una curva $ gamma $ parametrizzata da $vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)), t in [a,b]$ è definito come :
$int_a^b f(vec r(t)) |vec r'(t)|dt $
*L'integrale di linea di seconda specie, lungo $ gamma $ ,del campo $vecF $ [ essendo $vec F=F_1 vec i+ F_2 vec j+F_3 vec k] $ è definito come :
$int_a^b vec F(vec r(t)) *vecr'(t) dt $ [con $*$ = prodotto scalare]
E' diverso il modo in cui il vettore tangente alla curva è coinvolto nell'integrale.
Questa differenza ha una importante conseguenza:
-l'integrale di prima specie è invariante per cambiamenti di parametrizzazione della curva, anche quando la nuova parametrizzazione ne cambia l'orientazione : il risultato cioè non cambia cambiando il verso di percorrenza della curva [ $vec r'(t) $ appare in modulo ]
-l'integrale di seconda specie , invece, cambia di segno se si cambia l'orientazione sulla curva , mentre continua a essere invariante per cambiamenti di parametro che non alterino l'orientazione: il segno dell'integrale, dunque, dipende dal verso di percorrenza della curva.
E' corretto quindi parlare di lavoro di un campo lungo una curva orientata -ad es. lungo una crf percorsa in senso antiorario.
Da notare che la parametrizzazione della curva induce un'orientazione : per cambiarla, occorre cambiare parametrizzazione.
Ad es. la crf. unitaria percorsa in senso orario ha la parametrizzazione :
$vecr(t) =(cos t,-sint) ,t in [0,2pi]$.
intendevo dire questo, ma è una semplice osservazione: se ho una curva regolare, l'integrale di seconda specie si può scrivere nella forma $ int_a^b dt = int_a^b ||gamma'(t)|| dt$ e questo giustifica la mia osservazione sopra
Capito ciò che vuoi dire.
Comunque scrivendo l'integrale di seconda specie come ho indicato prima, secondo me, è più facile evitare di far confusione,
dato che non compare il simbolo del vettore tangente.
Comunque scrivendo l'integrale di seconda specie come ho indicato prima, secondo me, è più facile evitare di far confusione,
dato che non compare il simbolo del vettore tangente.
In poche parole l'integrale curvilineo di prima specie è quello che si ha data una curva e una sua rappresentazione parametrica e una funzione definita sul suo sostegno, mentre quello di seconda specie è l'integrale curvilineo di una forma differenziale, giusto?
Comunque il concetto adesso mi è chiaro. Grazie
Comunque il concetto adesso mi è chiaro. Grazie
Per come ti sei espresso sull' integrale curvilineo di 1a specie, non si capisce il significato. Per il resto ok, esatto.
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