Ascissa Curvilinea

[M.C.D.1]

Ho Il Seguente esercizio:

Si Consideri in R^3 La curva di equazione

$ r(t) = (e^{t} cos(t) ,e^{t} sin(t),e^{t}) $

Si Calcoli l'ascissa curvilinea calcolata a partire dal punto corrispondente al valore t=0 e si riscriva l'equazione della curva rispetto al parametro s

Io Ho Proceduto in Questo Modo:

Ho Calcolato $ r'(t) = ( e^{t} cos(t) - e^{t} sin(t), e^{t} cos(t) + e^{t} sin(t), e^{t} )$
Dopodiche' L'ascissa curvilinea e':

$ s = int_(0)^(t) |r'| $ = $ sqrt(3) (e^{t} -1)$ con $ |r'| = ( sqrt(3e^{2t} )) $

A questo punto per riscrivere la curva secondo il nuovo parametro devo ricavare t da questa formula giusto?
Dunque:

$t = ln ((s+sqrt(3))/sqrt(3) )$

Da Cui Sostituento Questa t nella formula di partenza si ottiene la curva riparametrizzata
E' corretto?

Ringrazio anticipatamente

[Sk_Anonymous]

Intanto: $s=sqrt(3)(e^t-1)$

[M.C.D.1]

si scusa, mea culpa nella trascrizione
ma il procedimento e' corretto?

[Sk_Anonymous]

Se $t=log(s/sqrt3+1)$ il procedimento è corretto.

[M.C.D.1]

sisi ho corretto su ^^
Quindi l'ultimo passo consiste nel sostituire la t cosi' ottenuta nella curva di partenza

[Sk_Anonymous]

Certo. Ti faccio notare che deve essere $s> -sqrt3$. Sapresti spiegarne il motivo?

[M.C.D.1]

Ah Ecco Con il meno dinanzi alla radice mi trovo
se fosse s piu' piccina l'argomento del log sarebbe negativo

[Sk_Anonymous]

Quella condizione si ricava, senza dubbio, considerando il campo di esistenza del logaritmo. Veramente, io mi stavo riferendo al motivo "geometrico" dal quale scaturisce.

[M.C.D.1]

mmm potrebbe essere perche' l'ascissa curvilinea e' definita come la lunghezza dell'arco di curva tra un estremo fisso ed uno variabile?
(Non ne son molto sicuro)

[Sk_Anonymous]

Ok, positiva se mi sposto in un verso, negativa se mi sposto nel verso opposto. Ma perchè è inferiormente limitata?

[M.C.D.1]

Ci penso un attimo e poi ti dico se mi viene qualcosa in mente
nel frattempo

Determinata l'ascissa curvilinea, mi si chiede di calcolare i versori del triedro di frenet
allora posso sfruttare la curva parametrizzata mediante ascissa curvilinea che chiamo R(s)
Dopodiche'
T(s) (versore Tangente) Sara' $R'(s)$
N(s) (versore Normale) Sara' $ (R'(s))/|R''(s)| $
B(s) (Versore Binormale) Sara' $ cc() T(s) ^^ N(s) $

Giusto?

[Sk_Anonymous]

Se intendevi $N(s)=(R''(s))/|R''(s)|$ è corretto.

[M.C.D.1]

Si inteso come norma
Ad ogni modo non so...perche' e' inferiormente limitata?

[Sk_Anonymous]

Più che al simbolo di norma, mi riferivo alla derivata prima al numeratore, sicuramente una distrazione. L'ascissa curvilinea è inferiormente limitata perchè la curva è limitata. Infatti, se fai il limite per $t->-oo$, ottieni l'origine degli assi. Quindi, $sqrt3$ è la lunghezza dell'arco compreso tra l'origine degli assi e l'origine scelta sulla curva. Il segno negativo dipende dal verso di percorrenza. Del resto, una tale limitazione doveva essere giustificabile anche dal punto di vista geometrico.

[M.C.D.1]

Grazie mille per l'aiuto speculor
mi sapresti consigliare un libro con esercizi su questo argomento?

[Sk_Anonymous]

Purtroppo no. Ma qualcuno potrà senz'altro consigliarti.

[ciampax]

Un buon testo, pieno di esercizi svolti e da svolgere, sulla geometria differenziale di curve e superfici è il seguente:

M.Lipschutz - Differential Geometry, Collana Schaum's

Si trova anche in rete, cercando, ma non so se c'è anche la versione italiana (che esiste in cartaceo).

[Sk_Anonymous]

@ciampax
Grazie dell'integrazione.