Ascissa curvilinea

[gokusajan1]

Salve a tutti, avrei un dubbio su una osservazione del mio libro. Cito testualmente il passaggio che mi è difficile capire:
< ... Invece di calcolare la lunghezza di una curva $gamma$ possiamo prenderne in considerazione solo una parte, ad esempio quella compresa tra il primo estremo $a$ e un punto $gamma(t)$ sulla curva. La lunghezza $s(t)$ di questa porzione è ovviamente una funzione di $t$ e si ha per definizione $s(t)=int_a^t ||gamma'(r)|| dr$. Al variare di t nell' intevallo $[a,b]$ in cui è definita la curva $gamma$ la funzione $s(t)$ è strettamente crescente dato che:
$s'(t)=||gamma'(t)||>0$ chiamiamo allora t(s) l' inversa della funzione $s(t)$; questa manderà $[0,L]$ in $[a,b]$ e quindi la derivata dell' inversa sarà l' inversa della derivata:
$t'(s)=1/||s'(t)||=1/||gamma'(t(s))$
se si pone $psi'(s)=(gamma'(t(s)))t'(s)=(gamma'(t(s)))/(s'(t))=(gamma'(t(s)))/||gamma'(t(s))||$
in particolare sarà $||psi'(s)||=1$ e la velocità vettoriale coincide con il vettore tangente.>
Non riesco a capire se sono riuscito ad afferrare il concetto. Infatti io ho interpretato l' osservazione in questo modo: se ho una curva di cui voglio calcolare la lunghezza, e questa è regolare, posso sempre trovare una parametrizzazione diversa, regolare, e che descriva lo stesso sostegno in modo tale che quest' ultima rispetti la biettività della composizione della curva $gamma(t)$ con $t(s)$ ove $t(s)in[a,b]$. Questo fatto implica anche che una funzione integrata su un' ascissa curvilinea dipende solo dal tipo di curva su cui si integra e non da come essa viene parametrizzata (se ovviamente le due curve sono equivalenti).
Ho notato inoltre che questo fatto è da tenere in considerazione soprattutto per quanto riguarda le forme differenziali. Per esempio il teorema della divergenza, che altro non è che un caso particolare del teorema di Gauss Green, sostiene proprio il fatto che l' integrale su E della divergenza di un campo vettoriale $V(x,y)$ è uguale al flusso di $V$ attraverso il bordo dell' insieme: $int_E di(V) dxdy=int_(gamma)(ds$ dove $gamma$ è una parametrizzazione del bordo dell' insieme E.
Potete dirmi se ho capito il concetto? Grazie

[gokusajan1]

nessuno può aiutarmi?

[gokusajan1]

altra richiesta: qualcuno saprebbe farmi un esempio di due curve equivalenti tali che:
$int_(sigma)fds=int_(gamma)fds$

[Quinzio]

Quello che stanno dicendo, in parole povere (molto povere !) è che, quando fai $||\gamma'(r)||$ stai in modo implicito prendendo anche il modulo di $\gamma'(r)$, ovvero il valore assoluto, quindi va fatta attenzione che $\gamma'(r)$ non assuma valori negativi, o meglio, che la curva venga percorsa sempre nello stesso senso. Un altro modo di dire cio' è che la funzione $s(t)$ sia strettamente crescente e quindi invertibile.