Armoniche Fourier, sono sempre decrescenti?
Sia data una $f(x): RR \to RR$ e periodica.
Ne faccio l'espansione in serie di Fourier.
Come consueto, ordino i vari termini della serie per frequenze crescenti. Per ogni frequenza ho due termini: uno con il seno e l'altro col coseno. Come è noto, tutte le frequenze sono multipli interi della prima frequenza.
La domanda è: è sempre vero che i coefficienti del seno e del coseno, considerati separatamente, rappresentano due successioni debolmente decrescenti?
Ne faccio l'espansione in serie di Fourier.
Come consueto, ordino i vari termini della serie per frequenze crescenti. Per ogni frequenza ho due termini: uno con il seno e l'altro col coseno. Come è noto, tutte le frequenze sono multipli interi della prima frequenza.
La domanda è: è sempre vero che i coefficienti del seno e del coseno, considerati separatamente, rappresentano due successioni debolmente decrescenti?
Risposte
qualcuno sa aiutarmi?
Dovrebbero esserlo? C'è qualche teorema che te lo garantisce?
Se non c'è nessun teorema che te l'ha suggerito, prova a costruire un controesempio. Per esempio, somma opportunamente una somma finita (ad esempio) di due seni, con coefficienti opportuni.
Vediamo un po'..
Se non c'è nessun teorema che te l'ha suggerito, prova a costruire un controesempio. Per esempio, somma opportunamente una somma finita (ad esempio) di due seni, con coefficienti opportuni.
Vediamo un po'..
hai ragione, non fa una piega. Come dici basta prendere $f(x)=sinx+2sin(2x)$ è già sviluppata in serie di Fourier e ha i coefficienti del seno crescenti.
Ma se la $f(x)$ ha uno sviluppo di Fourier con infiniti termini?
definitivamente i coefficienti devono essere decrescenti, altrimenti la serie non convergerebbe a una funzione.
ma può accadere che i coefficienti siano inizialmente crescenti?
Ma se la $f(x)$ ha uno sviluppo di Fourier con infiniti termini?
definitivamente i coefficienti devono essere decrescenti, altrimenti la serie non convergerebbe a una funzione.
ma può accadere che i coefficienti siano inizialmente crescenti?
Sotto le ipotesi di cui sopra, le due successioni sono infinitesime per $[k->+oo]$. Tuttavia, questo non assicura che esse siano definitivamente decrescenti.
grazie mille speculor!
i valori assoluti di ak e bk sono definitivamente decrescenti?
i valori assoluti di ak e bk sono definitivamente decrescenti?
No a tutte le domande del topic.
Controesempio:
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty (\frac{\sin n}{n^2})\cos(nx).\]
Nota che la serie è uniformemente convergente ma non c'è nessun pattern nei suoi coefficienti di Fourier e nemmeno nei loro valori assoluti.
Controesempio:
\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty (\frac{\sin n}{n^2})\cos(nx).\]
Nota che la serie è uniformemente convergente ma non c'è nessun pattern nei suoi coefficienti di Fourier e nemmeno nei loro valori assoluti.
ok mi arrendo! 
Il tuo controesempio converge per caso a qualche funzione elementare?
Il tuo controesempio converge per caso a qualche funzione elementare?
No, sicuramente no, sarà certamente una schifezza di funzione con regolarità molto bassa. Dico così perché i coefficienti decadono molto lentamente e quindi le frequenze alte, che inducono irregolarità, hanno un grosso peso nello sviluppo.
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