Argomento del numero complesso
Salve ragazzi volevo sapere quale ragionamento ci sta da fare per determinate l'argomento di un numero complesso
$z^6+1=0$
Riesco a trovarmi il modulo che è banalmente 1.
Ora il l'argomento è $arctan(y/x)$ dove $Y$ è la parte immaginaria e x la reale.
poi non riesco a continuare ..
In un altro esercizio poi calcolando sempre l'argomento mi trovavo con arcotangente di $oo$
che è $\pi/2$ ... ma non capisco perchè il libro sostituisce solo $\pi$ nella formula..
diciamo che con la goniometria sto un po a terra
$z^6+1=0$
Riesco a trovarmi il modulo che è banalmente 1.
Ora il l'argomento è $arctan(y/x)$ dove $Y$ è la parte immaginaria e x la reale.
poi non riesco a continuare ..
In un altro esercizio poi calcolando sempre l'argomento mi trovavo con arcotangente di $oo$
che è $\pi/2$ ... ma non capisco perchè il libro sostituisce solo $\pi$ nella formula..
diciamo che con la goniometria sto un po a terra
Risposte
Proverei a ragionare così:
Essendo dato $z^6 + 1 = 0$
$z = root(6)(-1)$
Scrivendomi $-1$ in forma trigonometrica si ha che $\rho = 1$ e $Arg(-1) = \pi$
Di qui potresti dire che il modulo del numero complesso $z$ è pari a $1$
Essendo dato $z^6 + 1 = 0$
$z = root(6)(-1)$
Scrivendomi $-1$ in forma trigonometrica si ha che $\rho = 1$ e $Arg(-1) = \pi$
Di qui potresti dire che il modulo del numero complesso $z$ è pari a $1$
Io preferisco usare seno e coseno per trovare l'argomento ...
Poniamo $z^6=t$ e $t=a+ib$, allora $z^6+1=0\ =>\ t=-1=-1+i0$ per cui $a=-1$ e $b=0$
Il modulo di $t$ sarà $sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1+0)=1$
L'argomento di $t$ sarà $theta=arccos(a)=arccos(-1)$ ma anche $theta=arcsin(b)=arcsin(0)$; angoli con il seno pari a zero ce ne sono due ($0$ e $pi$) ma solo uno che ha come coseno $-1$ e cioè $pi$.
Adesso per trovare $z$ dobbiamo calcolare la radice sesta di $t$.
Il modulo di $z$ sarà la radice sesta del modulo di $t$ e quindi sarà anch'esso pari a uno.
L'argomento di $z$ sarà quello di $t$ diviso per sei perciò $phi=pi/6$, però per la precisione l'argomento di $t$ non è solo $pi$ ma $pi+2kpi$ quindi dividendo tutto per sei avremo $pi/6+(kpi)/3$ ovvero i sei argomenti diversi delle sei radici seste saranno $pi/6, pi/2, (5pi)/6, (7pi)/6, (3pi)/2, (11pi)/6$
Cordialmente, Alex
Poniamo $z^6=t$ e $t=a+ib$, allora $z^6+1=0\ =>\ t=-1=-1+i0$ per cui $a=-1$ e $b=0$
Il modulo di $t$ sarà $sqrt(a^2+b^2)=sqrt(1+0)=1$
L'argomento di $t$ sarà $theta=arccos(a)=arccos(-1)$ ma anche $theta=arcsin(b)=arcsin(0)$; angoli con il seno pari a zero ce ne sono due ($0$ e $pi$) ma solo uno che ha come coseno $-1$ e cioè $pi$.
Adesso per trovare $z$ dobbiamo calcolare la radice sesta di $t$.
Il modulo di $z$ sarà la radice sesta del modulo di $t$ e quindi sarà anch'esso pari a uno.
L'argomento di $z$ sarà quello di $t$ diviso per sei perciò $phi=pi/6$, però per la precisione l'argomento di $t$ non è solo $pi$ ma $pi+2kpi$ quindi dividendo tutto per sei avremo $pi/6+(kpi)/3$ ovvero i sei argomenti diversi delle sei radici seste saranno $pi/6, pi/2, (5pi)/6, (7pi)/6, (3pi)/2, (11pi)/6$
Cordialmente, Alex
Grazie :d in effetti l'unica difficoltà che riscontro è solo questa
buon sabato a tutti
