ARGOMENTI VARI
Volevo proporre vari quesiti ai quali non riesco a dare una risposta corretta
Posso dire che il
lim(n_+infinito)sen x non esiste ed intuitivamente è vero in quanto il limite vedendo il grafico oscilla fra i valori + 1 e -1 ma vi è un teorema o una formula matematica più corretta che garantisce ciò?
il lim(n_+infinito)cos pigreco x è anch'esso inesistente?
In un compito di esame ho trovato che 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) perchè avviene ciò?
Passo ora allo studio di funzioni:
-se ho una funzione contenente un valore assoluto durante lo studio del dominio devo tenere in considerazione il valore assoluto come tale o devo calcolare il dominio nel caso in cui la funzione è positiva e nel caso in cui la funzione è positiva?
(spero di essere stata chiara)
-in genere se ho un valore assoluto lo divido in 2 casi
Ad esempio:
ABS(x)-1
x-1 se x>=0
-x-1 se x<0
Non riesco a trovare i casi in questa funzione
ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x))
Volevo chiedere inoltre(scusate la vergognosa ignoranza) se la risposta alla domanda -1/x>0 è MAI!
Grazie Mille per l'attenzione
mirella
Posso dire che il
lim(n_+infinito)sen x non esiste ed intuitivamente è vero in quanto il limite vedendo il grafico oscilla fra i valori + 1 e -1 ma vi è un teorema o una formula matematica più corretta che garantisce ciò?
il lim(n_+infinito)cos pigreco x è anch'esso inesistente?
In un compito di esame ho trovato che 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) perchè avviene ciò?
Passo ora allo studio di funzioni:
-se ho una funzione contenente un valore assoluto durante lo studio del dominio devo tenere in considerazione il valore assoluto come tale o devo calcolare il dominio nel caso in cui la funzione è positiva e nel caso in cui la funzione è positiva?
(spero di essere stata chiara)
-in genere se ho un valore assoluto lo divido in 2 casi
Ad esempio:
ABS(x)-1
x-1 se x>=0
-x-1 se x<0
Non riesco a trovare i casi in questa funzione
ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x))
Volevo chiedere inoltre(scusate la vergognosa ignoranza) se la risposta alla domanda -1/x>0 è MAI!
Grazie Mille per l'attenzione
mirella
Risposte
In analisi matematica si dimostra il seguente teorema:
Teorema.
Se f(x) è un funzione definita in [a,+inf[ e a valori in R, allora esiste il limite di f(x) per x--> +inf e vale L (finito o infinito) se e solo se per ogni successione {xn} contenuta in [a,+inf[ che sia divergente esiste il limite della successione {f(xn)} e vale sempre L.
Consideriamo allora due distinte successioni divergenti,
x'n = pi/2 + 2*n*pi, (dove pi=pi greco)
x''n = 3*pi/2 + 2*n*pi.
Posto f(x)=sen x, chiaramente risulta,
f(x'n)=1, per ogni n intero positivo,
f(x''n)=-1, per ogni n intero positivo.
Di conseguenza le successioni {f(x'n)} e {f(x''n)} ammettono i due distinti limiti 1 e -1.
Ma ciò, alla luce del teorema introdotto, è possibile solo se la funzione f(x)=sen x non ammette limite per x --> +inf.
Se, infatti, f(x)=sen x ammettesse limite L per x -->+inf le due successioni {f(x'n)}, {f(x''n)} dovrebbero avere lo stesso limite L cosa che evidentemente non accade.
Questo prova che la funzione f(x)=sen x non è dotata di limite per x -->+inf.
Allo stesso modo si potrebbe provare che anche la funzione g(x)=cos(pi*x) definita in ]-inf,+inf[ non ammette limite sia per x-->+inf che per x-->-inf.
Si dice che 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) perchè nel calcolo dei limiti le due successioni si equivalgono cioè hanno lo stesso andamento in un opportuno intorno di infinito.
Il motivo per cui 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) risiede nel fatto che lo sviluppo in serie di Mac-Laurin della funzione ln(1+x) è x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... e pertanto è possibile in un opportuno intorno sostituire x=1/n con x - x^2/2 = 1/n-1/2n^2.
Il dominio di una funzione contenente valori assoluti potrebbe ricavarsi in certi casi, come quello della tua funzione ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x)), lasciando i valori assoluti e ricordando che ogni valore assoluto a prescindere dal suo argomento è sempre una quantità non negativa.
Nel caso della tua funzione, di sicuro il denominatore non può annullarsi in quanto somma di 1 con una quantità non negativa e quindi la tua funzione è definita su tutto l'asse reale ]-inf,+inf[.
In altri casi invece il dominio della funzione si ricava dopo aver distinto i casi per ogni valore assoluto.
Se per esempio la funzione fosse 1/(1-ABS(x)), allora occorrerebbe distinguere i due casi x>=0 e x<0 per ricavare il dominio.
I casi della funzione ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x)) si ottengono risolvendo le due disequazioni,
e^x -1 >= 0
x>= 0
Entrambe le due disequazioni hanno come soluzione x>=0, si hanno allora solo i due seguenti casi,
(e^x - 1)/(1+x) se x>=0
(1-e^x)/(1-x) se x<0.
-1/x>0 ha invece come soluzioni x<0.
Basta ricordare la regola dei segni.
Angelo
Teorema.
Se f(x) è un funzione definita in [a,+inf[ e a valori in R, allora esiste il limite di f(x) per x--> +inf e vale L (finito o infinito) se e solo se per ogni successione {xn} contenuta in [a,+inf[ che sia divergente esiste il limite della successione {f(xn)} e vale sempre L.
Consideriamo allora due distinte successioni divergenti,
x'n = pi/2 + 2*n*pi, (dove pi=pi greco)
x''n = 3*pi/2 + 2*n*pi.
Posto f(x)=sen x, chiaramente risulta,
f(x'n)=1, per ogni n intero positivo,
f(x''n)=-1, per ogni n intero positivo.
Di conseguenza le successioni {f(x'n)} e {f(x''n)} ammettono i due distinti limiti 1 e -1.
Ma ciò, alla luce del teorema introdotto, è possibile solo se la funzione f(x)=sen x non ammette limite per x --> +inf.
Se, infatti, f(x)=sen x ammettesse limite L per x -->+inf le due successioni {f(x'n)}, {f(x''n)} dovrebbero avere lo stesso limite L cosa che evidentemente non accade.
Questo prova che la funzione f(x)=sen x non è dotata di limite per x -->+inf.
Allo stesso modo si potrebbe provare che anche la funzione g(x)=cos(pi*x) definita in ]-inf,+inf[ non ammette limite sia per x-->+inf che per x-->-inf.
Si dice che 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) perchè nel calcolo dei limiti le due successioni si equivalgono cioè hanno lo stesso andamento in un opportuno intorno di infinito.
Il motivo per cui 1/n-ln(1+1/n) "è asintotico a" 1/n-(1/n-1/2n^2) risiede nel fatto che lo sviluppo in serie di Mac-Laurin della funzione ln(1+x) è x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... e pertanto è possibile in un opportuno intorno sostituire x=1/n con x - x^2/2 = 1/n-1/2n^2.
Il dominio di una funzione contenente valori assoluti potrebbe ricavarsi in certi casi, come quello della tua funzione ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x)), lasciando i valori assoluti e ricordando che ogni valore assoluto a prescindere dal suo argomento è sempre una quantità non negativa.
Nel caso della tua funzione, di sicuro il denominatore non può annullarsi in quanto somma di 1 con una quantità non negativa e quindi la tua funzione è definita su tutto l'asse reale ]-inf,+inf[.
In altri casi invece il dominio della funzione si ricava dopo aver distinto i casi per ogni valore assoluto.
Se per esempio la funzione fosse 1/(1-ABS(x)), allora occorrerebbe distinguere i due casi x>=0 e x<0 per ricavare il dominio.
I casi della funzione ABS((e^(x) -1)/(1+ABS(x)) si ottengono risolvendo le due disequazioni,
e^x -1 >= 0
x>= 0
Entrambe le due disequazioni hanno come soluzione x>=0, si hanno allora solo i due seguenti casi,
(e^x - 1)/(1+x) se x>=0
(1-e^x)/(1-x) se x<0.
-1/x>0 ha invece come soluzioni x<0.
Basta ricordare la regola dei segni.
Angelo
Ciao a tutti!
Vorrei fare due osservazioni:
1) A proposito del fatto che sin(x) non ammette limite per x che tende a +infinito, si può generalizzare dicendo che qualunque funzione periodica non costante non ammette limite per x che tende a +inf (sempre per il teo. enunciato da Angelo). Nel caso di sin(x) si dice che la classe limite per x che tende a +inf è l'intervallo [-1;+1].
2) Essendo abs(x) una funzione definita per ogni valore di x reale, lo studio del dominio di funzioni contenenti il modulo si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli.
Vorrei fare due osservazioni:
1) A proposito del fatto che sin(x) non ammette limite per x che tende a +infinito, si può generalizzare dicendo che qualunque funzione periodica non costante non ammette limite per x che tende a +inf (sempre per il teo. enunciato da Angelo). Nel caso di sin(x) si dice che la classe limite per x che tende a +inf è l'intervallo [-1;+1].
2) Essendo abs(x) una funzione definita per ogni valore di x reale, lo studio del dominio di funzioni contenenti il modulo si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli.
goblyn
Ciao Goblyn,
non sono tanto d'accordo con la tua seconda osservazione. Secondo te se devo studiare il dominio di una funzione del tipo
1/(3x-ABS(2x-5)+11), per esempio, posso farlo senza spezzare il valore assoluto?
Ahimsa
non sono tanto d'accordo con la tua seconda osservazione. Secondo te se devo studiare il dominio di una funzione del tipo
1/(3x-ABS(2x-5)+11), per esempio, posso farlo senza spezzare il valore assoluto?
Ahimsa
Ciao Ahimsa. Mi sono espresso male e ho pure frainteso il problema:
Lo studio del dominio di abs(f(x)) coincide con quello di f(x).
Io avevo scritto:
"studio del dominio di funzioni contenenti il modulo si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli"
intendevo scrivere:
"studio del dominio di moduli contenenti funzioni si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli"
Ho invertito soggetto e complemento oggetto... Tra l'altro la mia osservazione non è nemmeno inerente la domanda di mirela.
Che ci volete fare... il caldo comincia a farsi sentire...
Lo studio del dominio di abs(f(x)) coincide con quello di f(x).
Io avevo scritto:
"studio del dominio di funzioni contenenti il modulo si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli"
intendevo scrivere:
"studio del dominio di moduli contenenti funzioni si può sempre effettuare senza dividere il problema in intervalli"
Ho invertito soggetto e complemento oggetto... Tra l'altro la mia osservazione non è nemmeno inerente la domanda di mirela.
Che ci volete fare... il caldo comincia a farsi sentire...
QUESTO sito è davvero super!!!non sò chi ringraziare prima!siete tutti gentilissimi!!!come farei senza di voi?
GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE
mirella
GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE GRAZIE
mirella
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mirella
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mirella
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo