Area tra superficie parametrica e retta
Buonasera a tutti, tra poco ho l’esame di analisi 2 e ho qualche problema su questo tipo di esercizi.
1) Calcolare l’area compresa dalla curva parametrica $ x(t)= t^3 ; y(t)= t^6 + t^3 - 1 $ con $ t:[ 0;2 ] $ e la retta $ y= x+1 $
2) Trovare l’area delimitata dalla curva parametrica $ x(t)= t^2 + 1 ; y(t)=-t^3$ con $t:[0;1] $ e gli assi cartesiani.
In entrambi ho difficoltà perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green ma sopratutto nel primo non capisco come trovare le intersezioni e quindi capire quali siano gli estremi di integrazione.
Grazie in anticipo
1) Calcolare l’area compresa dalla curva parametrica $ x(t)= t^3 ; y(t)= t^6 + t^3 - 1 $ con $ t:[ 0;2 ] $ e la retta $ y= x+1 $
2) Trovare l’area delimitata dalla curva parametrica $ x(t)= t^2 + 1 ; y(t)=-t^3$ con $t:[0;1] $ e gli assi cartesiani.
In entrambi ho difficoltà perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green ma sopratutto nel primo non capisco come trovare le intersezioni e quindi capire quali siano gli estremi di integrazione.
Grazie in anticipo
Risposte
Hai fatto un disegno?
P.S.: Elimina il tuttomaiuscolo dal titolo. Grazie.
P.S.: Elimina il tuttomaiuscolo dal titolo. Grazie.
Ho modificato il titolo
Nel primo esercizio comunque la retta è $ y=x-1 $ scusate.
Ho provato a disegnarle con un programma, graficamente vedo subito che un intersezione è $ (0,-1) $ ma non trovo l’altra. Avevo pensato di scrivere la retta in modo parametrico e poi porre uguale la $x(t), y(t)$ alle componenti della curva parametrica ma non so se funziona.
Nel primo esercizio comunque la retta è $ y=x-1 $ scusate.
Ho provato a disegnarle con un programma, graficamente vedo subito che un intersezione è $ (0,-1) $ ma non trovo l’altra. Avevo pensato di scrivere la retta in modo parametrico e poi porre uguale la $x(t), y(t)$ alle componenti della curva parametrica ma non so se funziona.
Ciao Lorric,
Benvenuto sul forum!
Per 1) osserverei che sostituendo $x$ al posto di $t^3$ risulta una parabola...
Benvenuto sul forum!
Per 1) osserverei che sostituendo $x$ al posto di $t^3$ risulta una parabola...
Ciao grazie!
Facendo un cambio di variabile quindi la funzione sarebbe $x(u)=u; y(u)= u^2 +u-1$ con $ u [0, 2^(1/3)] $
In questo caso per l’area tra le curve potrei considerare semplicemente la differenza tra l’area sottesa dalla retta e quella sottesa dalla curva tra gli estremi di integrazione di u?
Facendo un cambio di variabile quindi la funzione sarebbe $x(u)=u; y(u)= u^2 +u-1$ con $ u [0, 2^(1/3)] $
In questo caso per l’area tra le curve potrei considerare semplicemente la differenza tra l’area sottesa dalla retta e quella sottesa dalla curva tra gli estremi di integrazione di u?
Il cambio di variabile ce l'hai già $x=t^3$ quindi $x in [0,8]$
Abbiamo la parabola $y=x^2+x-1$
Mettendo a sistema abbiamo che le due curve hanno un solo punto in comune per $x=0$
Adesso basta risolvere l'integrale $int_0^8 [(x^2+x-1)-(x-1)]dx=int_0^8 x^2dx$
Abbiamo la parabola $y=x^2+x-1$
Mettendo a sistema abbiamo che le due curve hanno un solo punto in comune per $x=0$
Adesso basta risolvere l'integrale $int_0^8 [(x^2+x-1)-(x-1)]dx=int_0^8 x^2dx$
Perfetto grazie mille Bokonon. Invece nel caso in cui non sia possibile ricondurre la mia funzione parametrica a una funzione nota come nel secondo esercizio che ho postato come si procede?
P.s è un esercizio preso da un vecchio compito, ho provato a farlo ma mi sembra impossibile perché non ci sono aree comprese con gli assi cartesiani o sbaglio?
Nel caso fosse sbagliato ripropongo un vecchio esercizio postato sempre su questo forum dove però sono state cancellate le risposte che spiegavano il procedimento https://www.matematicamente.it/forum/calcolo-area-regione-delimitata-da-una-retta-e-una-cuva-t104844.html
P.s è un esercizio preso da un vecchio compito, ho provato a farlo ma mi sembra impossibile perché non ci sono aree comprese con gli assi cartesiani o sbaglio?
Nel caso fosse sbagliato ripropongo un vecchio esercizio postato sempre su questo forum dove però sono state cancellate le risposte che spiegavano il procedimento https://www.matematicamente.it/forum/calcolo-area-regione-delimitata-da-una-retta-e-una-cuva-t104844.html
"Lorric":
Invece nel caso in cui non sia possibile ricondurre la mia funzione parametrica a una funzione nota come nel secondo esercizio che ho postato come si procede?
Chi ha detto che non puoi?
Al variare di t abbiamo $x in [1,2]$ e $y in [-1,0]$
Noterai che ricavando t rispetto ad x la funzione di spezza in 2.
Meglio quindi $t=-y^(1/3) rArr t^2=y^(2/3)$
Da cui $x=y^(2/3)+1$
E ora basta fare $int_(-1)^0 [y^(2/3)+1] dy$
Se clicchi nei circoli vuoti prima delle funzioni, le visualizza.
https://www.desmos.com/calculator/byjjm7wyfa
Perfetto grazie mille è che non riuscivo a capire quale fosse l'area da considerare!
Un ultimo caso se posso (scusa le infinite domande ma sto cercando di chiarirmi tutti i dubbi), nel link che ho copiato sopra e preso da questo forum invece non posso ricavare t in funzione di x e y. Come potrei procedere? Se necessario posso anche copiare di nuovo il testo dell'esercizio.
Un ultimo caso se posso (scusa le infinite domande ma sto cercando di chiarirmi tutti i dubbi), nel link che ho copiato sopra e preso da questo forum invece non posso ricavare t in funzione di x e y. Come potrei procedere? Se necessario posso anche copiare di nuovo il testo dell'esercizio.
"Lorric":
perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green
Perché sostieni di non poter utilizzare le formule di Gauss-Green nel piano? Mi sa che sono proprio quelle da usare se
"Lorric":
non posso ricavare t in funzione di x e y. Come potrei procedere?
Come indicato nel post del primo che ti ha risposto...
"gugo82":
Hai fatto un disegno?
Poi parametrizzando tutte le curve in questione: dai un'occhiata ad esempio qui.
Avevo già letto quel file ma non avevo mai notato l’ultimo esercizio grazie!
Il mio problema nell’utilizzare gauss green consisteva che non sapevo come fare a considerare l’Intersezione della retta con la funzione, mentre dal file che hai postato ho visto che è sufficiente suddividere in più domini.
Quindi nel caso come ho visto in alcuni esercizi che la curva parametrica sia in funzione di due funzioni trascendenti l’unico modo per vedere l’Intersezione di una retta con quest’ultima è graficamente?
Il mio problema nell’utilizzare gauss green consisteva che non sapevo come fare a considerare l’Intersezione della retta con la funzione, mentre dal file che hai postato ho visto che è sufficiente suddividere in più domini.
Quindi nel caso come ho visto in alcuni esercizi che la curva parametrica sia in funzione di due funzioni trascendenti l’unico modo per vedere l’Intersezione di una retta con quest’ultima è graficamente?
"Lorric":
In entrambi ho difficoltà perché non posso utilizzare la formula dell’area di gauss green
LOL, avevo capito che tu non potessi utlizzarle da esercizio....non avrei mai immaginato etc etc
Ah no scusami mi ero spiegato male io ahaha
Non riuscivo io a capire come usarle, ero sempre abituato a esercizi dove calcolare aree di domini o aree racchiuso da curve ma mai con intersezioni e avevo problemi con gli estremi di integrazione
Non riuscivo io a capire come usarle, ero sempre abituato a esercizi dove calcolare aree di domini o aree racchiuso da curve ma mai con intersezioni e avevo problemi con gli estremi di integrazione
Buonasera, oggi mi sono imbattuto in un esercizio della solita tipologia e non riesco nuovamente a risolverlo, mi sa che ancora qualcosa non mi torna.
Calcolare l’area della regione delimitata dalla curva $ f: ( x(t)= 1- t^2 ; y(t)= log(2- t^2 ) ) $ con $t:[0,1] $ e dal segmento congiungente i punti $ (0,0) $ e $(1,log(2)) $
Non so proprio da dove partire
Calcolare l’area della regione delimitata dalla curva $ f: ( x(t)= 1- t^2 ; y(t)= log(2- t^2 ) ) $ con $t:[0,1] $ e dal segmento congiungente i punti $ (0,0) $ e $(1,log(2)) $
Non so proprio da dove partire
"Lorric":
Non so proprio da dove partire
Invece mi pare piuttosto semplice, perché se $t\in [0, 1] \implies x \in [0, 1] $ e siccome $y(t) = log(2- t^2 ) = log(1 + 1 - t^2) $ si può eliminare la dipendenza dal parametro $t $ e si ha $y(x) = log(1 + x) $ che passa per l'origine $O(0,0) $ e per il punto $A(1, log(2)) $
Salvo che non abbia sbagliato i conti l'area della regione delimitata richiesta mi risulta $ 3/2 log(2) - 1 $
Hai ragione era semplice, è che mi ostino sempre a voler usare gaus green visto che è una delle poche cose riguardanti l’area fatte al corso.
Con la formula $ 1/2 int ( xdy-ydx ) $ con gli estremi compresi tra i valori in cui varia il parametro della curva parametrica si trova il dominio piano cioè l’area racchiusa dalla curva. Se però l’area da trovare è compresa tra una curva parametrica e un’altra generica curva questa formula non si può più usare ?
Con la formula $ 1/2 int ( xdy-ydx ) $ con gli estremi compresi tra i valori in cui varia il parametro della curva parametrica si trova il dominio piano cioè l’area racchiusa dalla curva. Se però l’area da trovare è compresa tra una curva parametrica e un’altra generica curva questa formula non si può più usare ?
"Lorric":
Se però l’area da trovare è compresa tra una curva parametrica e un’altra generica curva questa formula non si può più usare ?
Ti giuro che non ho capito la domanda, se non è quella alla quale ti ho già risposto:
"pilloeffe":
Poi parametrizzando tutte le curve in questione: dai un'occhiata ad esempio qui.
Certo che si può sempre usare la formula di Gauss-Green (anche perché io non sono nessuno per metterla in dubbio ed è stata ampiamente dimostrata...
) e nel file di cui al link scritto vi sono degli esempi in proposito: semplicemente in qualche caso come nell'ultimo che hai proposto può essere più comodo e rapido procedere diversamente...
Si era la solita domanda ahaha, guardando il file non ero riuscito a chiarire tutti i miei dubbi.
Spero di esserci riuscito anche perché tra una settimana ho l’esame, nel caso trovassi altre difficoltà cercherò di spiegarmi meglio. Grazie mille per l’aiuto!
Spero di esserci riuscito anche perché tra una settimana ho l’esame, nel caso trovassi altre difficoltà cercherò di spiegarmi meglio. Grazie mille per l’aiuto!
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