Area tra due funzioni parametriche 2D
Salve a tutti 
Se ricordo bene (e se l'intuito mi aiuta) l'area (totale) tra due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ nell'internvallo $x \in [a,b]$ è in generale
$ \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$
dove il valore assoluto serve per considerare positiva sia l'area nelle regioni in cui $f(x)>g(x)$ che in quelle in cui $f(x)
Non riesco però a capire come estendere questo risultato alla distanza tra due curve parametriche nello spazio 2D.
Cioè supponendo di avere due curve $\mathbf{f}(t) = (f_x(t),f_y(t))$ e $\mathbf{g}(t) = (g_x(t),g_y(t))$, disegnando in rosso l'una e in nero l'altra (nell'intervallo $t\in [a,b]$) l'area tra le due curve vorrei definirla come l'area gialla in figura
pensavo di fare la stessa cosa di prima, sostituendo alla differenza tra le due funzioni la distanza euclidea
$ \int_a^b |\mathbf{f}(t)-\mathbf{g}(t)| dt = \int_a^b \sqrt{(f_x(t)-g_x(t))^2 + (f_y(t)-g_y(t))^2} dt $
Ma la cosa non mi convince per il seguente motivo:
se l'integrale (secondo Riemann) è dato dalla somma di molti rettangoli che approssimano la funzione (facendo tendere la base di questi rettangoli a zero), allora il mio sembra sbagliato, perché posso approssimare l'area di quelle due curve come somma delle aree di tanti trapezi (di area tendente a 0), non rettangoli!
Se ricordo bene (e se l'intuito mi aiuta) l'area (totale) tra due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ nell'internvallo $x \in [a,b]$ è in generale
$ \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$
dove il valore assoluto serve per considerare positiva sia l'area nelle regioni in cui $f(x)>g(x)$ che in quelle in cui $f(x)
Non riesco però a capire come estendere questo risultato alla distanza tra due curve parametriche nello spazio 2D.
Cioè supponendo di avere due curve $\mathbf{f}(t) = (f_x(t),f_y(t))$ e $\mathbf{g}(t) = (g_x(t),g_y(t))$, disegnando in rosso l'una e in nero l'altra (nell'intervallo $t\in [a,b]$) l'area tra le due curve vorrei definirla come l'area gialla in figura
pensavo di fare la stessa cosa di prima, sostituendo alla differenza tra le due funzioni la distanza euclidea
$ \int_a^b |\mathbf{f}(t)-\mathbf{g}(t)| dt = \int_a^b \sqrt{(f_x(t)-g_x(t))^2 + (f_y(t)-g_y(t))^2} dt $
Ma la cosa non mi convince per il seguente motivo:
se l'integrale (secondo Riemann) è dato dalla somma di molti rettangoli che approssimano la funzione (facendo tendere la base di questi rettangoli a zero), allora il mio sembra sbagliato, perché posso approssimare l'area di quelle due curve come somma delle aree di tanti trapezi (di area tendente a 0), non rettangoli!
Risposte
OK, però la tua pensata è giusta e si possono sviluppare delle migliorie.
Purtroppo non ho delle basi avanzate di conoscenza per cui vado un po' ad intuito (non so neanche cosa servirebbe: geometria avanzata ?).
Una cosa che funziona è sicuramente questa:
$A=1/2|\int_(t_a)^(t_b)(\bb(f)(t)-\bb(g)(t))\times(\nabla\bb(f)(t)+\nabla\bb(g)(t))dt|$
L'idea è quella di tenere conto della direzione della curva mentre $t$ avanza e del fatto che una curva può avanzare più velocemente dell'altra.
Siccome vogliamo misurare un'area, e' chiaro che bisogna stare attenti ad alcune condizioni, come quando si calcola l'area tra una curva e l'asse x.
Nell'ultimo caso bisogna fare attenzione quando la curva incrocia l'asse x, qui invece bisogna fare attenzione quando le due curve si incrociano. Bisogna spezzare l'integrale e invertire il segno dell'integrale. Questo fatto è segnalato dal modulo dell'integrale. Chiaro che il modulo è una funzione "bastarda" e va trattata "a mano".
Nel disegno l'area rossa viene con un segno e l'area nera col segno opposto.
Un'altra situazione che da un risultato sbagliato e quella dove c'è la linea rossa. Quando la linea tra le due curve incrocia una delle due l'integrale va spezzato e valutato adeguatamente.
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ad esempio proviamo a calcolare l'area di un triangolo di vertici $(0, 0),(2,1),(1,0)$.
Il triangolo ha area $1/2$.
Quindi parametrizziamo due lati come $\bb(f)(t)=(t,t/2)$ e $\bb(g)(t)=(1+t,t)$.
Sarà $t\in[0,1]$.
Abbiamo
$\nabla\bb(f)(t)=(1,1/2)$
$\nabla\bb(g)(t)=(1,1)$
$\nabla\bb(f)(t)+\nabla\bb(g)(t)=(2,3/2)$
$\bb(f)(t)-\bb(g)(t)=-(1,t/2)$
Quindi $A=1/2|\int_0^1 (2,3/2)\times(1,t/2)dt|$
$A=1/2|\int_0^1 (t-3/2) dt|=1/2|[t^2/2-3/2t]_0^1|=1/2$
Nota che uno dei due lati non è percorso interamente (da vertice a vertice), non è necessario. E' sufficiente che solo uno dei due lati arrivi all'intersezione (immaginando che il triangolo sia parte di una figura più complessa).
Anzi è necessario...queste regole vanno chiarite meglio, comunque.
Purtroppo non ho delle basi avanzate di conoscenza per cui vado un po' ad intuito (non so neanche cosa servirebbe: geometria avanzata ?).
Una cosa che funziona è sicuramente questa:
$A=1/2|\int_(t_a)^(t_b)(\bb(f)(t)-\bb(g)(t))\times(\nabla\bb(f)(t)+\nabla\bb(g)(t))dt|$
L'idea è quella di tenere conto della direzione della curva mentre $t$ avanza e del fatto che una curva può avanzare più velocemente dell'altra.
Siccome vogliamo misurare un'area, e' chiaro che bisogna stare attenti ad alcune condizioni, come quando si calcola l'area tra una curva e l'asse x.
Nell'ultimo caso bisogna fare attenzione quando la curva incrocia l'asse x, qui invece bisogna fare attenzione quando le due curve si incrociano. Bisogna spezzare l'integrale e invertire il segno dell'integrale. Questo fatto è segnalato dal modulo dell'integrale. Chiaro che il modulo è una funzione "bastarda" e va trattata "a mano".
Nel disegno l'area rossa viene con un segno e l'area nera col segno opposto.
Un'altra situazione che da un risultato sbagliato e quella dove c'è la linea rossa. Quando la linea tra le due curve incrocia una delle due l'integrale va spezzato e valutato adeguatamente.
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ad esempio proviamo a calcolare l'area di un triangolo di vertici $(0, 0),(2,1),(1,0)$.
Il triangolo ha area $1/2$.
Quindi parametrizziamo due lati come $\bb(f)(t)=(t,t/2)$ e $\bb(g)(t)=(1+t,t)$.
Sarà $t\in[0,1]$.
Abbiamo
$\nabla\bb(f)(t)=(1,1/2)$
$\nabla\bb(g)(t)=(1,1)$
$\nabla\bb(f)(t)+\nabla\bb(g)(t)=(2,3/2)$
$\bb(f)(t)-\bb(g)(t)=-(1,t/2)$
Quindi $A=1/2|\int_0^1 (2,3/2)\times(1,t/2)dt|$
$A=1/2|\int_0^1 (t-3/2) dt|=1/2|[t^2/2-3/2t]_0^1|=1/2$
Nota che uno dei due lati non è percorso interamente (da vertice a vertice), non è necessario. E' sufficiente che solo uno dei due lati arrivi all'intersezione (immaginando che il triangolo sia parte di una figura più complessa).
Anzi è necessario...queste regole vanno chiarite meglio, comunque.
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