Area racchiusa da $\vecr(t)$
Ciao, amici!
Ho qualche difficoltà a ritrovarmi nella soluzione data dal mio testo di analisi all'esercizio in cui si propone di calcolare l'area racchiusa dalla curva $\vecr (t) = \vecu cost + \vecv sint,t \in [-\pi,\pi]$. Come ho fatto io, il libro risolve utilizzando la formula
\[ A=|\int_{-\pi}^{\pi} x(t)y'(t) \text{d}t| \]
dove $x(t)$ e $y(t)$ sono le due componenti della curva piana, che io, chiamando $(u_x,u_y)$ e $(v_x,v_y)$ le componenti dei vettori $\vecu$ e $\vecv$,calcolerei come
$x(t)=u_x cost +v_x sint$ e $y'(t)=-u_y sint +v_y cost$ ottenendo quindi l'integrale*
$A=|\int_{-\pi}^{\pi} (u_x cost +v_x sint)(-u_y sint +v_y cost) "d"t|=|\int_{-\pi}^{\pi} u_xv_ycos^2t-u_yv_xsin^2t "d"t|=\pi|det(\vecu,\vecv)|$.
Invece il mio libro calcola
$|\int_{-\pi}^{\pi} x(t)y'(t) \text{d}t| = |\int_{-\pi}^{\pi} \vecu*\vecvcos^2t \text{d}t| =\pi|vecu*\vecv|$
dove non realizzo da dove venga il prodotto scalare...
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
*Ho tenuto presente che \( \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 t \text{d}t=\pi \), \( \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 t \text{d}t=\pi \) e \( \int_{-\pi}^{\pi} \cos t \sin t \text{d}t=0 \).
Ho qualche difficoltà a ritrovarmi nella soluzione data dal mio testo di analisi all'esercizio in cui si propone di calcolare l'area racchiusa dalla curva $\vecr (t) = \vecu cost + \vecv sint,t \in [-\pi,\pi]$. Come ho fatto io, il libro risolve utilizzando la formula
\[ A=|\int_{-\pi}^{\pi} x(t)y'(t) \text{d}t| \]
dove $x(t)$ e $y(t)$ sono le due componenti della curva piana, che io, chiamando $(u_x,u_y)$ e $(v_x,v_y)$ le componenti dei vettori $\vecu$ e $\vecv$,calcolerei come
$x(t)=u_x cost +v_x sint$ e $y'(t)=-u_y sint +v_y cost$ ottenendo quindi l'integrale*
$A=|\int_{-\pi}^{\pi} (u_x cost +v_x sint)(-u_y sint +v_y cost) "d"t|=|\int_{-\pi}^{\pi} u_xv_ycos^2t-u_yv_xsin^2t "d"t|=\pi|det(\vecu,\vecv)|$.
Invece il mio libro calcola
$|\int_{-\pi}^{\pi} x(t)y'(t) \text{d}t| = |\int_{-\pi}^{\pi} \vecu*\vecvcos^2t \text{d}t| =\pi|vecu*\vecv|$
dove non realizzo da dove venga il prodotto scalare...
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!!!
*Ho tenuto presente che \( \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 t \text{d}t=\pi \), \( \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 t \text{d}t=\pi \) e \( \int_{-\pi}^{\pi} \cos t \sin t \text{d}t=0 \).
Risposte
Evidentemente hai ragione tu, ti basta un esempio per capire che il risultato del tuo libro non può essere giusto.
La circonferenza unitaria è il caso particolare in cui $ul(u) = (1,0)$ e $ul(v) = (0,1)$. Questi due vettori sono ortogonali eppure l'area racchiusa da questa curva è $pi$ (in accordo con la formula da te trovata).
La circonferenza unitaria è il caso particolare in cui $ul(u) = (1,0)$ e $ul(v) = (0,1)$. Questi due vettori sono ortogonali eppure l'area racchiusa da questa curva è $pi$ (in accordo con la formula da te trovata).
Grazie di cuore, Giuly!
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