Area dominio esercizio

[maryenn1]

Ciao a tutti,chi può aiutarmi con questo esercizio?
Calcolare l’area del dominio D compreso tra le curve di equazione:
$ y = x^2$
$x = −y^2$

[Brancaleone1]

Beh intanto puoi disegnare l'area sul piano cartesiano per farti un'idea di come è fatta

[maryenn1]

Ho disegnato le due parabole e mi sembra che si intersechino per un tratto molto breve,come posso risolvere l'esercizio? Si tratta di calcolare un integrale doppio?

[Brancaleone1]

Esatto: devi trovare gli intervalli di $x$ e $y$ - uno in funzione dell'altro - e applicarli come estremi di integrazione.

[maryenn1]

Non riesco a determinarli in alcun modo! Potresti darmi una mano?

[Brancaleone1]

Guarda il grafico che ti sei fatto/a: gli estremi della $x$ sono ... e quelli della $y$ ... .
Una volta trovati, imponiamo "fissi" gli estremi di una delle due variabili: mettiamo di farlo con la $x$, allora si ha $x_0 < x < x_1$.
La $y$ varia a seconda del valore assunto da $x$ tra i due estremi, quindi non possiamo imporre "fissi" anche i suoi estremi - perché otterremmo un quadrato... - allora ci viene in aiuto l'equazione esplicita delle curve: $y$ è compresa tra la curva superiore (di equazione ...) e una inferiore (di equazione ...). Basta metterli come estremi di $y$ e poi integrare.

[maryenn1]

Ho ottenuto $-1<=x<=0$ e $ -x^(1/2)<=y<=x^2$,è corretto?

[Brancaleone1]

"maryenn":$ -x^(1/2)<=y<=x^2$

Occhio, è il contrario - inoltre attenzione che $-x^(1/2) ne sqrt(-x)$.

[maryenn1]

quindi $x^2<=y<=(-x)^(1/2)$ ?

[Brancaleone1]

Sì, ora integra!

[maryenn1]

Devo calcolare quest'integrale:
$ ∫_(-1)^(0)∫_(x^2)^((-x)^(1/2)) dydx$
a me risulta uguale a $-1$,è corretto?

[Brancaleone1]

No, posta i passaggi così li vediamo.

[maryenn1]

Probabilmente avevo sbagliato un passaggio,dovrebbe essere $1/3$ ! è giusto ora?

[Brancaleone1]

[maryenn1]

Graziee