Area di una superficie regolare a pezzi
salve a tutti, ho bisogno di una mano per risolvere questo esercizio:
calcolare l'area della superficie regolare a pezzi che è la frontiera di $E={(x,y,z)\epsilon RR^3: x^2+y^2+z^2<=16, x^2+y^2<=6z}$
Dovrebbe trattarsi di un integrale superficiale, ma non so come risolverlo perchè nel mio libro non c'è nemmeno un esercizio a proposito... vi scrivo quello che ho provato a fare, non so se è giusto.
La frontiera è $x^2+y^2+z^2=16, x^2+y^2=6z$ da cui ottengo $z=(x^2+y^2)/2$ quindi $u=x, v=y, z=f(u,v)=(u^2+v^2)/2$
e $|\nabla f(u,v)|=u, v$
Adesso dovrei calcolare $\int int f(r(u,v)) sqrt(1+|\nabla f(u,v)|^2)$ ma non so bene cosa devo usare come $f(r(u,v))$
Mi date una mano?
calcolare l'area della superficie regolare a pezzi che è la frontiera di $E={(x,y,z)\epsilon RR^3: x^2+y^2+z^2<=16, x^2+y^2<=6z}$
Dovrebbe trattarsi di un integrale superficiale, ma non so come risolverlo perchè nel mio libro non c'è nemmeno un esercizio a proposito... vi scrivo quello che ho provato a fare, non so se è giusto.
La frontiera è $x^2+y^2+z^2=16, x^2+y^2=6z$ da cui ottengo $z=(x^2+y^2)/2$ quindi $u=x, v=y, z=f(u,v)=(u^2+v^2)/2$
e $|\nabla f(u,v)|=u, v$
Adesso dovrei calcolare $\int int f(r(u,v)) sqrt(1+|\nabla f(u,v)|^2)$ ma non so bene cosa devo usare come $f(r(u,v))$
Mi date una mano?
Risposte
se devi calcolare solamente l'area della superficie, cioè la sua misura (e non l'integrale di una funzione su quella superficie), allora la funzione da integrare si riduce alla funzione indicatrice: quindi se la parametrizzazione è giusta devi solo trovare gli estremi di integrazione e sostituire $f(r(u,v))=1$
Vista la simmetria della superficie, che è di tipo "cilindrico" rispetto all'asse $z$ (considera che la superficie è composta dalla superficie del paraboloide $6z=x^2+y^2$ e da un pezzo di calotta sferica della sfera $x^2+y^2+z^2=16$), io direi che conviene parametrizzare con coordinate cilindriche:
$$x=u\cos v,\qquad y=u\sin v,\qquad v\in[0,2\pi]$$
Le limitazioni per $u$ e l'espressione di $z$ dipendono ora dal come è fatta la superficie. Per prima cosa, osserva che sostituendo le equazioni risultano
$$u^2+z^2=16,\qquad u^2=6z$$
Puoi disegnare queste due curve nel piano $uOz$ (esse rappresentano i profili in "sezione" delle superfici) per determinare come siano fatti $z$ e $u$. Se disegni le due curve (la prima una circonferenza, la seconda una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse $z$) e tieni conto che $u\ge 0$ per definizione e che deve pure essere $z\ge 0$, per cui basta disegnare solo nel primo quadrante, osserverai che le curve si intersecano nel punto $(2\sqrt{3},2)$ e pertanto avrai i due "pezzi" seguenti:
$$S_1:\ x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=\frac{u^2}{6},\qquad u\in[0,2\sqrt{3}],\ v\in[0,2\pi]$$
$$S_2:\ x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=\sqrt{16-u^2},\qquad u\in[0,2\sqrt{3}], v\in[0,2\pi]$$
Ovviamente dovrai calcolare due integrali di superficie e sommarli, per ottenere quanto ti serve. Ricorda, inoltre, che se parametrizzi una superficie con $r=r(u,v)$ la sua area risulta data dall'integrale
$$\int_{S} d\sigma=\int\int_{D} |r_u\wedge r_v|\ du\ dv$$
dove $D$ è il dominio di variazione di $u,v$, $r_u,\ r_v$ sono le derivate del vettore $r$, $\wedge$ è il prodotto vettoriale e $|\ |$ la norma (modulo) del vettore.
$$x=u\cos v,\qquad y=u\sin v,\qquad v\in[0,2\pi]$$
Le limitazioni per $u$ e l'espressione di $z$ dipendono ora dal come è fatta la superficie. Per prima cosa, osserva che sostituendo le equazioni risultano
$$u^2+z^2=16,\qquad u^2=6z$$
Puoi disegnare queste due curve nel piano $uOz$ (esse rappresentano i profili in "sezione" delle superfici) per determinare come siano fatti $z$ e $u$. Se disegni le due curve (la prima una circonferenza, la seconda una parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse $z$) e tieni conto che $u\ge 0$ per definizione e che deve pure essere $z\ge 0$, per cui basta disegnare solo nel primo quadrante, osserverai che le curve si intersecano nel punto $(2\sqrt{3},2)$ e pertanto avrai i due "pezzi" seguenti:
$$S_1:\ x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=\frac{u^2}{6},\qquad u\in[0,2\sqrt{3}],\ v\in[0,2\pi]$$
$$S_2:\ x=u\cos v,\ y=u\sin v,\ z=\sqrt{16-u^2},\qquad u\in[0,2\sqrt{3}], v\in[0,2\pi]$$
Ovviamente dovrai calcolare due integrali di superficie e sommarli, per ottenere quanto ti serve. Ricorda, inoltre, che se parametrizzi una superficie con $r=r(u,v)$ la sua area risulta data dall'integrale
$$\int_{S} d\sigma=\int\int_{D} |r_u\wedge r_v|\ du\ dv$$
dove $D$ è il dominio di variazione di $u,v$, $r_u,\ r_v$ sono le derivate del vettore $r$, $\wedge$ è il prodotto vettoriale e $|\ |$ la norma (modulo) del vettore.
grazie ciampax, grazie walter89, adesso è chiaro
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