Area di una superficie "strana"
Ciao a tutti, stavo provando a svolgere il seguente esercizio:
Si consideri in $\mathbb(R)^3$ la seguente curva: $\gamma(t)=(\cos t,\sin t, t)$ con $t\in [0,2\pi]$.
Per ogni $t$, sia $S_t$ il segmento chiuso che congiunge il punto $\gamma(t)$ all'origine e si ponga $S=\bigcup_{t\in[0,2\pi]} S_t$.
Dimostrare che $S$ è una superficie regolare e calcolarne l'area.
Il mio problema è che non riesco a trovare una parametrizzazione della superficie $S$.
Ho pensato che una possibile parametrizzazione possa essere data da:
$\phi(t,s)=(s\cos t,s\sin t, st)$ con $t\in[0,2\pi]; s\in[0,1]$.
In quanto a $t$ fisso, mi descrive proprio la retta $S_t$.
Tuttavia non penso sia la parametrizzazione giusta, in quanto lo jacobiano non ha rango massimo in tutti i punti con $s=0$ (giustamente, dato che sono i punti nell'origine).
Inoltre non riesco a calcolare agilmente l'area con questa parametrizzazione.
Ho anche pensato che magari potrei usare il teorema della divergenza per calcolarne l'area, dato che ne conosco il bordo; tuttavia non so bene come procedere in quanto ho visto applicato il teorema della divergenza per l'area solo per domini di $\mathbb(R)^2$.
Avete per caso qualche suggerimento? Grazie in anticipo a tutti !
Si consideri in $\mathbb(R)^3$ la seguente curva: $\gamma(t)=(\cos t,\sin t, t)$ con $t\in [0,2\pi]$.
Per ogni $t$, sia $S_t$ il segmento chiuso che congiunge il punto $\gamma(t)$ all'origine e si ponga $S=\bigcup_{t\in[0,2\pi]} S_t$.
Dimostrare che $S$ è una superficie regolare e calcolarne l'area.
Il mio problema è che non riesco a trovare una parametrizzazione della superficie $S$.
Ho pensato che una possibile parametrizzazione possa essere data da:
$\phi(t,s)=(s\cos t,s\sin t, st)$ con $t\in[0,2\pi]; s\in[0,1]$.
In quanto a $t$ fisso, mi descrive proprio la retta $S_t$.
Tuttavia non penso sia la parametrizzazione giusta, in quanto lo jacobiano non ha rango massimo in tutti i punti con $s=0$ (giustamente, dato che sono i punti nell'origine).
Inoltre non riesco a calcolare agilmente l'area con questa parametrizzazione.
Ho anche pensato che magari potrei usare il teorema della divergenza per calcolarne l'area, dato che ne conosco il bordo; tuttavia non so bene come procedere in quanto ho visto applicato il teorema della divergenza per l'area solo per domini di $\mathbb(R)^2$.
Avete per caso qualche suggerimento? Grazie in anticipo a tutti !
Risposte
I conti li farai tu ma riflettiamo su cosa sia la curva. E' una spirale attorno ad un cilindro di raggio 1 e altezza $2pi$. Se collego l'origine ad un punto della curva ad altezza $t_0$, vedo che è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di altezza $t_0$ e base $1$. Quindi posso parametrizzare il segmento usando pitagora.
La somma non è altro che un integrale
La somma non è altro che un integrale
"Bokonon":
Quindi posso parametrizzare il segmento usando pitagora.
La somma non è altro che un integrale
In che modo? E' proprio questo il problema: che sto ragionando con segmenti in $\mathbb(R)^3$ e non so bene come parametrizzarli adeguatamente
Ad altezza $t_0$ il segmento che congiunge l'origine al punto della curva $\gamma(t_0)$ è dato da
$S_{t_0}(s)= (0,0,0)+s\gamma(t_0) $ con $s\in[0,1]$ (per questo avevo proposto la parametrizzazione $\phi(t,s)$).
E, ovviamente, la sua norma è chiaramente l'ipotenusa che dicevi tu Bokonon, in quanto $||\gamma(t_0)||= \sqrt(1+t_0^2)$.
Però sono convinto mi serva una esplicita parametrizzazione della superficie, anche perchè devo dimostrare che quella superficie $S$ è regolare, e so farlo solo se ho una parametrizzazione sotto mano.
"Lebesgue":
Però sono convinto mi serva una esplicita parametrizzazione della superficie, anche perchè devo dimostrare che quella superficie $S$ è regolare, e so farlo solo se ho una parametrizzazione sotto mano.
Ma quella è la tua parametrizzazione. Alla fine se adagi ordinatamente tutti i segmenti su un piano ti viene fuori una conchiglia nautilus (da qui la curva nautilus).
Quindi abbiamo $int_0^(2pi) sqrt(1+t^2) dt$
P.S. Eccola qua https://www.desmos.com/calculator/6rr0ywkczs
"Bokonon":
Ma quella è la tua parametrizzazione. Alla fine se adagi ordinatamente tutti i segmenti su un piano ti viene fuori una conchiglia nautilus (da qui la curva nautilus).
Quindi abbiamo $int_0^(2pi) sqrt(1+t^2) dt$
Ah allora avevo fatto i conti bene
Solamente che l'integrale di $\sqrt(1+t^2)$ non è propriamente banale, anzi... per cui pensavo di star facendo dei conti sbagliati
A parte che in zero la superficie come l'hai parametrizzata è regolare, e se trovi l'elemento di area infinitesima
\[d\sigma=\|\frac{\partial}{\partial s}\times\frac{\partial}{\partial t}\| = \sqrt{\left| s (\sin t-t \cos t)\right| ^2+\left| s (\cos t+t \sin t)\right| ^2+\left| s\right| ^2}\] e lo integri ti viene \(\frac{1}{2} \left(\pi \sqrt{2 \left(1+2 \pi ^2\right)}+\sinh ^{-1}\left(\sqrt{2} \pi \right)\right)\).
\[d\sigma=\|\frac{\partial}{\partial s}\times\frac{\partial}{\partial t}\| = \sqrt{\left| s (\sin t-t \cos t)\right| ^2+\left| s (\cos t+t \sin t)\right| ^2+\left| s\right| ^2}\] e lo integri ti viene \(\frac{1}{2} \left(\pi \sqrt{2 \left(1+2 \pi ^2\right)}+\sinh ^{-1}\left(\sqrt{2} \pi \right)\right)\).
"Lebesgue":
l'integrale di $\sqrt(1+t^2)$ non è propriamente banale
Scafato come sei, l'avrai sicuramente risolto in molti modi...che magari hai persino dimenticato
A parte i soliti metodi noti (sostituzione $t=tan(alpha)$ o usando direttamente le funzioni iperboliche), vorrei segnalartene uno che a suo tempo trovai "brillante"...come l'uomo che l'ha introdotto.
E' la sostituzione di Eulero. La ignoravo totalmente prima di aver visto questo video.
https://www.youtube.com/watch?v=7lPb89D ... kpenredpen
P.S. Già che ci sono metto anche il link a Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution
"Bokonon":
[quote="Lebesgue"]
l'integrale di $\sqrt(1+t^2)$ non è propriamente banale
Scafato come sei, l'avrai sicuramente risolto in molti modi...che magari hai persino dimenticato
A parte i soliti metodi noti (sostituzione $t=tan(alpha)$ o usando direttamente le funzioni iperboliche), vorrei segnalartene uno che a suo tempo trovai "brillante"...come l'uomo che l'ha introdotto.
E' la sostituzione di Eulero. La ignoravo totalmente prima di aver visto questo video.
https://www.youtube.com/watch?v=7lPb89D ... kpenredpen
P.S. Già che ci sono metto anche il link a Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution[/quote]
Infatti queste sostituzioni di Eulero mi sono ben note, dato che le avevo trovate in delle opere dello stesso Eulero che avevo letto per la tesi, ma ovviamente non avevo minimamente pensato ad utilizzarle
[ot]
Hai fatto una tesi su Eulero oppure Eulero è saltato fuori nella ricerca?[/ot]
"Lebesgue":
Infatti queste sostituzioni di Eulero mi sono ben note, dato che le avevo trovate in delle opere dello stesso Eulero che avevo letto per la tesi, ma ovviamente non avevo minimamente pensato ad utilizzarle
Hai fatto una tesi su Eulero oppure Eulero è saltato fuori nella ricerca?[/ot]
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