Area di una superficie parametrica

[hange1]

Buonasera! Ho un problema a risolvere questo esercizio:
"L'area della superficie parametrica $ phi (rho ,theta )=(rho cos theta ,rho sin theta ,theta ), rho in]0,1], theta in [0,4pi ] $ è.. "

La risposta è $ 2pi (sqrt(2)+sinh^(-1)(1)) $ .


Ho provato a procedere con la seguente formula: $ Area(S)=int int_(A)^()sqrt(M1^2+M2^2+M3^2) dp d theta $

dove M1, M2, M3 sono i determinanti dei tre minori della matrice Jacobiana associata.

Facendo i dovuti conti e le dovute semplificazioni arrivo a:
$ int int_(0)^(1)pdp d theta $ (con intervallo dell'integrale esterno che va da 0 a 4pi)

Adesso non capisco da dove viene fuori sinh e tutto il resto della soluzione perché risolvendo questo semplice integrale mi verrebbe 2pi.

Ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[pilloeffe]

Ciao hange,

Benvenuta sul forum!

La parametrizzazione è la seguente:

$\{(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = \theta):}$

Per cui la matrice jacobiana associata è la seguente:

$[[x_{\rho},y_{\rho}, z_{\rho}],[x_{\theta},y_{\theta}, z_{\theta}]] = [[cos\theta,sin\theta,0],[-\rho sin\theta,\rho cos\theta, 1]] $

Quindi si ha:

$M_1 = L = sin\theta $
$M_2 = M = - cos\theta $
$M_3 = N = \rho cos^2\theta + \rho sin^2\theta = \rho $

Pertanto $ \text{d}\sigma = \sqrt(M_1^2+M_2^2+M_3^2) \text{d}\rho \text{d}\theta = \sqrt(sin^2\theta+cos^2\theta+\rho^2) \text{d}\rho \text{d}\theta = \sqrt(1+\rho^2) \text{d}\rho \text{d}\theta $

Dunque si ha:

$ Area(S) =\int \int_(A) \text{d}\sigma = \int_0^{4\pi} \text{d}\theta \int_0^1 \sqrt(1+\rho^2) \text{d}\rho = 4\pi \int_0^1 \sqrt(1+\rho^2) \text{d}\rho $

L'ultimo integrale non è proprio come quello che hai scritto tu...

[hange1]

Grazie mille pilloeffe! Avevo scambiato l'uno con uno zero..
Risolvendo l'integrale in effetti il risultato coincide con la soluzione.