Area di una superficie e integrale di superficie
Che differenza c'è tra l'area di una superficie definita da $z=f(x,y)$ e l'integrale di superficie della funzione $g(x,y,z)$ su di una superficie regolare S definita da $z=f(x,y)$?
premetto che l'integrale di superficie mi è chiaro graficamente,il dubbio mi viene sulla prima(area di una suerficie):
credo sia per calcolare l'area della superficie che si proietta su un piano, ma per fare questo non basta fare l'integrale doppio ponendo $f(x,y)=1$ senza scomodare la formula $A=intsqrt(1+|Df(x,y)|)$?
premetto che l'integrale di superficie mi è chiaro graficamente,il dubbio mi viene sulla prima(area di una suerficie):
credo sia per calcolare l'area della superficie che si proietta su un piano, ma per fare questo non basta fare l'integrale doppio ponendo $f(x,y)=1$ senza scomodare la formula $A=intsqrt(1+|Df(x,y)|)$?
Risposte
Ti pongo la cosa (come l'hai detta tu) in termini "diretti": tu stai affermando che per calcolare l'area della superficie della sfera (o palla) puoi, in modo equivalente, calcolare l'area del dominio che la sfera proietta sul piano $xOy$ e che risulta una circonferenza. Ora ti chiedo: ti sembra avere senso la cosa?
"ciampax":
che risulta una circonferenza.
Direi un cerchio!
L'area di una circonferenza è 0 !
"fireball":
[quote="ciampax"]che risulta una circonferenza.
Direi un cerchio!
L'area di una circonferenza è 0 ![/quote]Sì, scritto male...
forse mi sono espresso male io intendevo con "proeiezione" non la circonferenza proiettata ma l'area del cerchio che la sfera proietta su un piano, cioè per calcolare l'area di questo cerchio basta fare l'integrale doppio, perchè scomodare l'area di una superficie?
Forse ragioni male: se proietti una sfera Su un piano quello che ottieni è il suo cerchio massimo (quello che passato per l'equatore). O forse sono io che non capisco cosa intendi.
Capisco cosa vuoi dire forse ragiono male io ma allora l'area di superficie della sfera cos'è?e il suo integrale di superficie?(forse ragionando con la sfera posso capire meglio)
ma allora l'area di superficie della sfera cos'è?e il suo integrale di superficie?(forse ragionando con la sfera posso capire meglio)
"Fabrizio8490":
premetto che l'integrale di superficie mi è chiaro graficamente,il dubbio mi viene sulla prima(area di una suerficie):
Strano, mi sarebbe sembrato più logico il contrario... L'area di una superficie ha un significato geometrico palese.
L'integrale di superficie di una funzione definita in $RR^3$ a valori reali non ha invece una chiara interpretazione geometrica,
nel senso che non puoi dire che è "l'area/volume sottesa/o dal grafico della funzione", perché il grafico della funzione si trova in $RR^4$, cioè
$RR^3xxRR$ e dunque non lo puoi visualizzare. Al massimo, poiché l'integrale di superficie della funzione definita da $g(x,y,z)$
è dato da $int_{Omega} g(x,y,f(x,y)) sqrt(1+|nabla f(x,y)|^2) dx dy$, con $Omega subset RR^2$, puoi dire che tale integrale si ottiene calcolando il volume
del solido compreso tra il grafico della funzione $(x,y)\mapsto g(x,y,f(x,y)) sqrt(1+|nabla f(x,y)|^2)$ (che è una superficie in $RR^3$) e $Omega$, che è un insieme piatto che sta sul piano $RR^2$.
Nel caso dell'area di una superficie basta prendere $g(x,y,z)=1$ dappertutto, allora puoi dire che l'area della superficie $z=f(x,y)$ è numericamente
uguale al volume del solido compreso tra il grafico della funzione $(x,y)\mapsto sqrt(1+|nabla f(x,y)|^2)$ e $Omega$.
Integrale di superficie:
ad ogni elemento di superficie associ un valore.
L'integrale è la "somma" (sì, proprio nel senso di 'somma integrale' di tutti questi valori).
Scusate l'esempio, ma mi è chiaro.
Ad ogni "elemento di superficie" (non proprio... ma ...) del
mio cranio associo la lunghezza del capello che vi cresce.
L'integrale di superficie mi darebbe "il volume " della mia capigiatura (ora è
piccolo, chè li ho rasati ad inizio mese...).
Area di superficie: è
l'integrale di superficie della funzione
costante $g(x,y,z)=1$. Area del mio cranio... (del 'cuoio capelluto').
E scusate ancora l'esemio! ma, mi era venuto una volta, parlando con un collega... e mi sembra renda!
ad ogni elemento di superficie associ un valore.
L'integrale è la "somma" (sì, proprio nel senso di 'somma integrale' di tutti questi valori).
Scusate l'esempio, ma mi è chiaro.
Ad ogni "elemento di superficie" (non proprio... ma ...) del
mio cranio associo la lunghezza del capello che vi cresce.
L'integrale di superficie mi darebbe "il volume " della mia capigiatura (ora è
piccolo, chè li ho rasati ad inizio mese...).
Area di superficie: è
l'integrale di superficie della funzione
costante $g(x,y,z)=1$. Area del mio cranio... (del 'cuoio capelluto').
E scusate ancora l'esemio! ma, mi era venuto una volta, parlando con un collega... e mi sembra renda!
@orazioster:CASPITA SE RENDE!!!!E' GENIALE!!!!
solo un ultimo chiarimento, all'integrale di superficie la funzione che mi dà l'esercizio indica "come varia l'altezza dei capelli dal cuoi capelluto" mentre la superficie regolare rappresenta il cuoio capelluto giusto?
ti posto un esercizio cosi puoi capire meglio
calcolare l'integrale superficiale della funzione $f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$$"come varia l'altezza dei capelli dal cuoi capelluto"$ esteso a quella parte $S$ della superficie conica $z^2=x^2+y^2$ compresa fra i piani $z=0$ e $z=1$$("il cuoio capelluto")$
ovviamente la superficie dato non ha una forme del cranio ma è per rendere l'idea
solo un ultimo chiarimento, all'integrale di superficie la funzione che mi dà l'esercizio indica "come varia l'altezza dei capelli dal cuoi capelluto" mentre la superficie regolare rappresenta il cuoio capelluto giusto?
ti posto un esercizio cosi puoi capire meglio
calcolare l'integrale superficiale della funzione $f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$$"come varia l'altezza dei capelli dal cuoi capelluto"$ esteso a quella parte $S$ della superficie conica $z^2=x^2+y^2$ compresa fra i piani $z=0$ e $z=1$$("il cuoio capelluto")$
ovviamente la superficie dato non ha una forme del cranio ma è per rendere l'idea
"Fabrizio8490":
@orazioster:CASPITA SE RENDE!!!!E' GENIALE!!!!
solo un ultimo chiarimento, all'integrale di superficie la funzione che mi dà l'esercizio indica "come varia l'altezza dei capelli dal cuoi capelluto" mentre la superficie regolare rappresenta il cuoio capelluto giusto?
Sì è così. Oltre all'esempio (chiarissimo ed efficace) di orazioster, comunque, spero che la mia risposta non ti sia servita solo come carta igienica...
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