Area di una Superficie e flusso del campo vettoriale
Buonasera a tutti!
Sono uno studente di ingegneria alle prese con l'esame di Analisi II.
Vi vorrei proporre un esercizio uscito proprio l'altro giorno sul compito che ho sostenuto ma che non sono riuscito a fare. Dato che ho superato la prova scritta, e alla prova orale è compresa un ampia discussione sul compito,dovrei risolvere e discutere questo esercizio.
Ecco il testo:
Si consideri la superficie $S$ che si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $x$ la cicloide
$ u \in [0,2pi] \rightarrow { ( x=u-sinu ),( z=1-cosu ):} $
a) Si calcoli l'area della superficie $ Gamma =Snn {(x,y,z)in R^3 : z>= 0} $
b) Si calcoli il flusso del campo vettoriale $ (z,-1,-1) $ attraverso la superficie $S$ orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva.
La prima considerazione da fare è riuscire a parametrizzare la superficie S in qualche modo, ma non sono ancora riuscito a capire come. Per quanto riguarda il calcolo del Flusso, premetto che ho qualche minima conoscenza del Teorema di Stokes ed affini ma in questo esercizio non saprei proprio dove mettere mano.
Qualsiasi tipo di consiglio e/o suggerimento è ben accetto!!
Stay Tuned!
Sono uno studente di ingegneria alle prese con l'esame di Analisi II.
Vi vorrei proporre un esercizio uscito proprio l'altro giorno sul compito che ho sostenuto ma che non sono riuscito a fare. Dato che ho superato la prova scritta, e alla prova orale è compresa un ampia discussione sul compito,dovrei risolvere e discutere questo esercizio.
Ecco il testo: Si consideri la superficie $S$ che si ottiene facendo ruotare attorno all'asse $x$ la cicloide
$ u \in [0,2pi] \rightarrow { ( x=u-sinu ),( z=1-cosu ):} $
a) Si calcoli l'area della superficie $ Gamma =Snn {(x,y,z)in R^3 : z>= 0} $
b) Si calcoli il flusso del campo vettoriale $ (z,-1,-1) $ attraverso la superficie $S$ orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva.
La prima considerazione da fare è riuscire a parametrizzare la superficie S in qualche modo, ma non sono ancora riuscito a capire come. Per quanto riguarda il calcolo del Flusso, premetto che ho qualche minima conoscenza del Teorema di Stokes ed affini ma in questo esercizio non saprei proprio dove mettere mano.
Qualsiasi tipo di consiglio e/o suggerimento è ben accetto!!
Stay Tuned!
Risposte
ahahaha siamo colleghi di corso ! comunque la superficie la parametrizzi utilizzando il teorema del guldino ed hai che
$ {x=(u-sin(u)) ,y=(1-cos(u))*sin (vartheta),z=(1-cos(u))*cos(vartheta)}$
per calcolare l'area della superficie con$ z>0$ devi porre $vartheta in (0,pi/2)$
poi usi la formula $A= alpha L(curva) zb$ dove $zb$ è la coordinata del baricentro $alpha=pi/2$ nel nostro caso .
la lunghezza della curva è uguale ad $8$
$zb =(1/8)*int_0^(2pi)(1-cosu)^(3/2)du$
ricorda che $(1-cos(u)/2)^(1/2) =sin(u/2) $ operando questa sostituzione ti trovi facilmente l'integrale .
per quanto riguarda il flusso non sono sicura del procedimento che ho svolto
$ {x=(u-sin(u)) ,y=(1-cos(u))*sin (vartheta),z=(1-cos(u))*cos(vartheta)}$
per calcolare l'area della superficie con$ z>0$ devi porre $vartheta in (0,pi/2)$
poi usi la formula $A= alpha L(curva) zb$ dove $zb$ è la coordinata del baricentro $alpha=pi/2$ nel nostro caso .
la lunghezza della curva è uguale ad $8$
$zb =(1/8)*int_0^(2pi)(1-cosu)^(3/2)du$
ricorda che $(1-cos(u)/2)^(1/2) =sin(u/2) $ operando questa sostituzione ti trovi facilmente l'integrale .
per quanto riguarda il flusso non sono sicura del procedimento che ho svolto
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