Area di una superficie
Salve a tutti, ho il seguente problema:
Calcolare l'area della superficie $Sigma={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2)+5,x^2+y^2<=12,y<=0}$.
Per risolverlo, io avevo pensato di calcolare $z_x$ e $z_y$ e poi fare $intint_Dsqrt(1+z_x^2+z_y^2)dxdy$, solo che non torna il risultato.
Penso che abbia sbagliato la parametrizzazione, ma come capisco come farla? Ho cercato di capirne di più dal libro di testo, ma spiega malissimo questa parte.
Grazie mille per l'aiuto
Calcolare l'area della superficie $Sigma={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2)+5,x^2+y^2<=12,y<=0}$.
Per risolverlo, io avevo pensato di calcolare $z_x$ e $z_y$ e poi fare $intint_Dsqrt(1+z_x^2+z_y^2)dxdy$, solo che non torna il risultato.
Penso che abbia sbagliato la parametrizzazione, ma come capisco come farla? Ho cercato di capirne di più dal libro di testo, ma spiega malissimo questa parte.
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Ho provato a rifarlo utilizzando le coordinate polari, considerando che $-2sqrt(3)<=rho<=2sqrt(3)$ e $theta in [3/2pi, 2pi]$ perchè considero la semicirconferenza sotto l'asse x. E' corretto come ragionamento? Secondo me ha qualche falla, perchè $rho$ non deve sempre essere $>=0$? Se considero però l'intervallo $0<=rho<=2sqrt(3)$, non viene un risultato plausibile. Qualcuno può aiutarmi a chiarire queste cose? Grazie mille
Edit: la limitazione $0<=rho<=2sqrt(3)$ non va bene perchè il secondo vincolo, cioè $rhosin(theta)<=0$ è soddisfatto se $rho<=0$ oppure se $sin(theta)<=0$. Quindi è giusto $-2sqrt(3)<=rho<=2sqrt(3)$ e $theta in [3/2pi, 2pi]$ vero?
Edit: la limitazione $0<=rho<=2sqrt(3)$ non va bene perchè il secondo vincolo, cioè $rhosin(theta)<=0$ è soddisfatto se $rho<=0$ oppure se $sin(theta)<=0$. Quindi è giusto $-2sqrt(3)<=rho<=2sqrt(3)$ e $theta in [3/2pi, 2pi]$ vero?
Sei un po' scoraggiante da aiutare.
Stai saltando da integrali doppi a integrali tripli ad in fine integrali di superficie come un canguro!
Se salti i consigli che ti ho dato e non risolvi prima integrali semplici ma istruttivi, è normale che tu scriva "deliri" nel tentativo di applicare meccanicamente ciò che studi!
Infine, sei sicuro di come è definita $Sigma$ ?
Lo chiedo perchè, così com'è, non è una varietà chiusa.
Stai saltando da integrali doppi a integrali tripli ad in fine integrali di superficie come un canguro!
Se salti i consigli che ti ho dato e non risolvi prima integrali semplici ma istruttivi, è normale che tu scriva "deliri" nel tentativo di applicare meccanicamente ciò che studi!
Infine, sei sicuro di come è definita $Sigma$ ?
Lo chiedo perchè, così com'è, non è una varietà chiusa.
"Bokonon":
Sei un po' scoraggiante da aiutare.
Stai saltando da integrali doppi a integrali tripli ad in fine integrali di superficie come un canguro!
Se salti i consigli che ti ho dato e non risolvi prima integrali semplici ma istruttivi, è normale che tu scriva "deliri" nel tentativo di applicare meccanicamente ciò che studi!
Infine, sei sicuro di come è definita $Sigma$ ?
Lo chiedo perchè, così com'è, non è una varietà chiusa.
Perdonami ma ho l'esame tra due settimane circa e ho finito ora il programma.
Per $Sigma$ sono sicuro, perchè l'ho preso da un compito d'esame.
Quindi non è corretto come ho fatto?
"Gianluk3":
Perdonami ma ho l'esame tra due settimane circa e ho finito ora il programma.
Per $Sigma$ sono sicuro, perchè l'ho preso da un compito d'esame.
Quindi non è corretto come ho fatto?
Immaginavo che stessi correndo per l'esame...ma rischi di passarlo "male".
Ok, se questo è $Sigma$ allora è davvero una superficie e si riduce ad un'intersezione di un paraboloide con un cilindro...e poi viene dimezzata.
In pratica possiamo riscriverla così $Sigma_1={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2)+5,5<=z<=8,y<=0}$
ma possiamo anche traslarlo e scrivere $Sigma_2={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2),0<=z<=3,y<=0}$
e infine parametrizzarlo e avere $Sigma_3={(theta,rho,z): z=1/4rho^2,0<=rho<=2sqrt(3),-pi<=theta<=0}$
La funzione non dipende da $theta$ pertanto tutto ciò che dobbiamo fare è prendere la lunghezza di quel ramo di parabola e ruotarlo di mezzo giro, ovvero moltiplicarlo per $int_(-pi)^0 d theta=pi$
La lunghezza si ottiene (sporcamente per moltissimi matematici
) usando pitagora, quindi:$ds=sqrt(drho^2+dz^2)=(drho)/(drho)sqrt(drho^2+dz^2)=drhosqrt(1+((dz)/(drho))^2)$
e poi li si somma nell'intervallo, ovvero $pi*int_0^(2sqrt(3)) ds=pi*int_0^(2sqrt(3)) sqrt(1+rho^2/4) drho$
"Bokonon":
[quote="Gianluk3"]
Perdonami ma ho l'esame tra due settimane circa e ho finito ora il programma.
Per $Sigma$ sono sicuro, perchè l'ho preso da un compito d'esame.
Quindi non è corretto come ho fatto?
Immaginavo che stessi correndo per l'esame...ma rischi di passarlo "male".
Ok, se questo è $Sigma$ allora è davvero una superficie e si riduce ad un'intersezione di un paraboloide con un cilindro...e poi viene dimezzata.
In pratica possiamo riscriverla così $Sigma_1={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2)+5,5<=z<=8,y<=0}$
ma possiamo anche traslarlo e scrivere $Sigma_2={(x,y,z)in RR^3: z=1/4(x^2+y^2),0<=z<=3,y<=0}$
e infine parametrizzarlo e avere $Sigma_3={(theta,rho,z): z=1/4rho^2,0<=rho<=2sqrt(3),-pi<=theta<=0}$
La funzione non dipende da $theta$ pertanto tutto ciò che dobbiamo fare è prendere la lunghezza di quel ramo di parabola e ruotarlo di mezzo giro, ovvero moltiplicarlo per $int_(-pi)^0 d theta=pi$
La lunghezza si ottiene (sporcamente per moltissimi matematici
) usando pitagora, quindi:$ds=sqrt(drho^2+dz^2)=(drho)/(drho)sqrt(drho^2+dz^2)=drhosqrt(1+((dz)/(drho))^2)$
e poi li si somma nell'intervallo, ovvero $pi*int_0^(2sqrt(3)) ds=pi*int_0^(2sqrt(3)) sqrt(1+rho^2/4) drho$[/quote]
perfetto.
Ma come sei arrivato a parametrizzare $Sigma$, non è troppo complicato?
Perchè basandomi col libro, io determino una parametrizzazione $sigma=(u,v,w)$, trovo le derivate $z_u$ e $z_v$ e poi direttamente l'integrale? (Passando in coordinate polari).
Comunque mi torna, avevo solo sbagliato delle cose nel cambiamento di variabile. Grazie mille.
Solo che in
"Bokonon":non bisognerebbe moltiplicare per $rho$ nell'integrale? Il determinante dello Jacobiano intendo.
$ pi*int_0^(2sqrt(3)) ds=pi*int_0^(2sqrt(3)) sqrt(1+rho^2/4) drho $
"Gianluk3":
Ma come sei arrivato a parametrizzare $Sigma$, non è troppo complicato?
No.
Alla fin fine $Sigma_2$ non è nemmeno un passaggio necessario...era solo per farti vedere che talvolta è utile applicare una traslazione per pulire il tutto e avere le idee più chiare.
Fondamentalmente, dato che alla fine serve la derivata, se si parametrizza in coordinate polari direttamente $Sigma_1$ allora l'integrale è lo stesso perchè la costante sparisce. Se invece tu avessi voluto trovare il volume del solido allora la traslazione semplifica di gran lunga i calcoli IMHO.
"Gianluk3":
non bisognerebbe moltiplicare per $rho$ nell'integrale? Il determinante dello Jacobiano intendo.
No.
Stiamo solo parametrizzando una superficie, non stiamo facendo una sostituzione dentro un integrale.
Fondamentalmente (e scusami se te lo dico) se tu avessi fatto pratica con integrali semplici, come appunto la superficie di un paraboloide parabolico semplice come appunto $y=1/4(x^2+y^2)$, avresti notato che alla fine tutto si riduce alle tecniche come per i solidi di rotazione.
Puoi immaginare la parametrizzazione come $rho=x$ e $z=y$.
Hai il solito piano e la parabola $y=1/4x^2$ con $0<=x<=2sqrt(3)$ (quindi, sostituendo, trovi appunto $0<=y<=3$ per farti vedere l'analogia completa!).
Se ruoti la lunghezza del ramo di iperbole attorno ad y, ottieni la superficie del paraboloide.
Sic et simpliciter.
Avere pratica dei concetti più semplici e conoscenza delle varietà, aiuta a visualizzare i domini e a determinare immediatamente eventuali semplificazioni (che siano per simmetria oppure riduzioni da integrali di grado n a (n-k) ). Nessuno può obbligarti ad impostare integrali assurdi quando puoi giustificare una semplificazione.
"Bokonon":
[quote="Gianluk3"]
Ma come sei arrivato a parametrizzare $Sigma$, non è troppo complicato?
No.
Alla fin fine $Sigma_2$ non è nemmeno un passaggio necessario...era solo per farti vedere che talvolta è utile applicare una traslazione per pulire il tutto e avere le idee più chiare.
Fondamentalmente, dato che alla fine serve la derivata, se si parametrizza in coordinate polari direttamente $Sigma_1$ allora l'integrale è lo stesso perchè la costante sparisce. Se invece tu avessi voluto trovare il volume del solido allora la traslazione semplifica di gran lunga i calcoli IMHO.
"Gianluk3":
non bisognerebbe moltiplicare per $rho$ nell'integrale? Il determinante dello Jacobiano intendo.
No.
Stiamo solo parametrizzando una superficie, non stiamo facendo una sostituzione dentro un integrale.
Fondamentalmente (e scusami se te lo dico) se tu avessi fatto pratica con integrali semplici, come appunto la superficie di un paraboloide parabolico semplice come appunto $y=1/4(x^2+y^2)$, avresti notato che alla fine tutto si riduce alle tecniche come per i solidi di rotazione.
Puoi immaginare la parametrizzazione come $rho=x$ e $z=y$.
Hai il solito piano e la parabola $y=1/4x^2$ con $0<=x<=2sqrt(3)$ (quindi, sostituendo, trovi appunto $0<=y<=3$ per farti vedere l'analogia completa!).
Se ruoti la lunghezza del ramo di iperbole attorno ad y, ottieni la superficie del paraboloide.
Sic et simpliciter.
Avere pratica dei concetti più semplici e conoscenza delle varietà, aiuta a visualizzare i domini e a determinare immediatamente eventuali semplificazioni (che siano per simmetria oppure riduzioni da integrali di grado n a (n-k) ). Nessuno può obbligarti ad impostare integrali assurdi quando puoi giustificare una semplificazione.[/quote]
Si certo, sò che è una parametrizzazione. Però poi passando in coordinate polari, viene una $rho$ fuori dalla radice. Io ho detto così perchè in un esercizio sull'area sul libro, passando in coordinate polari, mette $rho$ fuori dalla radice. Per questo ho chiesto se ci andasse.
Perfavore, non quotare tutto.
Se avessi messo anche $rho$ avremmo trovato il volume del paraboloide.
Ma scrivo tanto spiegandoti persino le basi e tu, invece di provare a capire, mi replichi così?
$x^2+y^2=r^2$
Passalo in coordinate polari e imposta due integrali: uno per trovare la lunghezza della circonferenza e uno per l'area del cerchio
"Gianluk3":
Io ho detto così perchè in un esercizio sull'area sul libro, passando in coordinate polari, mette $rho$ fuori dalla radice. Per questo ho chiesto se ci andasse.
Se avessi messo anche $rho$ avremmo trovato il volume del paraboloide.
Ma scrivo tanto spiegandoti persino le basi e tu, invece di provare a capire, mi replichi così?
$x^2+y^2=r^2$
Passalo in coordinate polari e imposta due integrali: uno per trovare la lunghezza della circonferenza e uno per l'area del cerchio
"Bokonon":
Se avessi messo anche $rho$ avremmo trovato il volume del paraboloide.
Ma scrivo tanto spiegandoti persino le basi e tu, invece di provare a capire, mi replichi così?
$x^2+y^2=r^2$
Passalo in coordinate polari e imposta due integrali: uno per trovare la lunghezza della circonferenza e uno per l'area del cerchio
Perdonami anzitutto se ho quotato tutto.
Per quanto riguarda il fatto della $rho$, io ho capito quel che dici tu, perchè facendo la sostituzione è come se me lo inventassi. Io ho risposto così, perchè negli integrali doppi, quando passo in coordinate polari, bisogna moltiplicare per il determinante dello Jacobiano. Nella prima sostituzione, io sono d'accordissimo con te, perchè ho semplicemnte fatto una sostituzione. Però, portando avanti i calcoli, se vedo una forma che mi si semplifica con le polari, ci passo, moltiplicando per $rho$. Questo intendo.
Comunque, per l'area:
$int_0^(2pi)int_0^rrhodrho d$$theta$.
Per la lunghezza:
$int_0^(2pi)||gamma'(t)||dt$, con $gamma(t)=(rcos(t),rsin(t)), tin [0,2pi]$.
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