Area di una regione con integrali
ciao a tutti sto preparando l'esame di matematica 2 (università di architettura) e ho dei problemi nel risolvere un esercizio.
il testo è il seguente: sia D= [(x,y) Є R2| x^2+y^2+4x-4y+4≤0; x≥-1] e siano (ρ,θ) coordinate polari centrate nel punto (-2,2). calcola l'area della regione D.
non riesco a capire cosa significa che le coordinate polari sono centrate in un punto, e di conseguenza ho problemi a risolvere l'esercizio.
spero che mi saprete aiutare.
il testo è il seguente: sia D= [(x,y) Є R2| x^2+y^2+4x-4y+4≤0; x≥-1] e siano (ρ,θ) coordinate polari centrate nel punto (-2,2). calcola l'area della regione D.
non riesco a capire cosa significa che le coordinate polari sono centrate in un punto, e di conseguenza ho problemi a risolvere l'esercizio.
spero che mi saprete aiutare.
Risposte
Ciao!
Se guardi bene la regione D é una circonferenza avente il centro in $(-2,2)$ e raggio uguale a $2$.
Essendo una circonferenza ti conviene utilizzare le coordinate polari, ricordandoti che il centro della circonferenza non è in $(0,0)$ ma in $(-2,2)$
Quindi l'equazione parametrica sarà uguale a
$ { ( x=rhocost+x_0 ),( y=rhosent+y_0 ):} $
Ricordati anche le limitazioni di $rho$ e di $theta$ in quando hai solo metà circonferenza (a causa della limitazione $x>=1$)
Ciaoo!
Se guardi bene la regione D é una circonferenza avente il centro in $(-2,2)$ e raggio uguale a $2$.
Essendo una circonferenza ti conviene utilizzare le coordinate polari, ricordandoti che il centro della circonferenza non è in $(0,0)$ ma in $(-2,2)$
Quindi l'equazione parametrica sarà uguale a
$ { ( x=rhocost+x_0 ),( y=rhosent+y_0 ):} $
Ricordati anche le limitazioni di $rho$ e di $theta$ in quando hai solo metà circonferenza (a causa della limitazione $x>=1$)
Ciaoo!
Hai provato a vedere che tipo di circonferenza è quella descritta nel tuo dominio?
In generale, comunque, quando dice centrate in un punto significa che il cambiamento di variabili è dettato dalla legge:
${(x=-2+\rhocos\theta),(y=2+\rhosin\theta):}$
In generale, comunque, quando dice centrate in un punto significa che il cambiamento di variabili è dettato dalla legge:
${(x=-2+\rhocos\theta),(y=2+\rhosin\theta):}$
"floppyes":
Ciao!
Ricordati anche le limitazioni di $rho$ e di $theta$ in quando hai solo metà circonferenza (a causa della limitazione $x>=1$)
Io non mi trovo che si ha metà circonferenza.
. La circonferenza ha raggio $2$ e la condizione è $xgeq-1$ quindi non può essere metà circonferenza.
Ciao!
Si scusa ho sbagliato a scrivere
Si scusa ho sbagliato a scrivere
si ma in questo modo $\theta$ che valori assume? 
Per trovare tra quali valori varia $theta$ fai sistema tra l'equazione della crf e della retta $x=-1$.
Troverai così le coordinate dei punti di intersezione tra crf e retta.
Si ottiene facilmente $A =( -1;2+sqrt(3)) ;B=(-1 ;2-sqrt(3))$.
Adesso trova l'angolo limite superiore ; sarà $tan theta = ( 2+sqrt(3)-2)/(2-1)= sqrt (3) $ da cui $ theta = 60° $ etc.
Un disegno facilita molto la comprensione del procedimento adottato.
Troverai così le coordinate dei punti di intersezione tra crf e retta.
Si ottiene facilmente $A =( -1;2+sqrt(3)) ;B=(-1 ;2-sqrt(3))$.
Adesso trova l'angolo limite superiore ; sarà $tan theta = ( 2+sqrt(3)-2)/(2-1)= sqrt (3) $ da cui $ theta = 60° $ etc.
Un disegno facilita molto la comprensione del procedimento adottato.
Avevo pensato che si facesse così attraverso il coefficiente angolare delle rette ma mi sembrava una cosa " da liceo " pensavo che esistesse un modo più difficile da utilizzare. xD
ciao a tutti, innanzi tutto grazie per l'aiuto.
sto capendo come fare l'esercizio, e ho impostato l'integrale per calcolare l'area, ma non riesco a capire come mai il risulato sia così. (questo messo sotto è il risultato)
$ int_(-pi/3 )^(pi/3) $ $ int_(1/cosTheta )^(2) drho dTheta $
io avrei fatto diversamente:
il mio dominio diventa cosi: D= [1< $ rho $ <2; -pi/3 < $ Theta $
quindi l'integrale con le coordinate polari lo imposto così: $ int int_(D)^() rho ^2+4rho cosTheta -4rho senTheta+4 $
poi però non riesco più ad andare avanti.
sto capendo come fare l'esercizio, e ho impostato l'integrale per calcolare l'area, ma non riesco a capire come mai il risulato sia così. (questo messo sotto è il risultato)
$ int_(-pi/3 )^(pi/3) $ $ int_(1/cosTheta )^(2) drho dTheta $
io avrei fatto diversamente:
il mio dominio diventa cosi: D= [1< $ rho $ <2; -pi/3 < $ Theta $
quindi l'integrale con le coordinate polari lo imposto così: $ int int_(D)^() rho ^2+4rho cosTheta -4rho senTheta+4 $
poi però non riesco più ad andare avanti.
Secondo me se vai a sostituire il cambio di variabili, sopra citato più volte, nelle condizioni del dominio trovi il modo di fissare gli estremi di integrazione. Anche perchè non è vero che $1<\rho<2$, perchè se provi a disegnare quello che tu hai detto dovrebbe venirti fuori un pezzettino di corona circolare...
si ho capito.
grazie mille
grazie mille
ti sei dimenticato lo jacobiano della trasformazione che è $\ro$
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