Area di una porzione di superfice
Ciao, ho iniziato a studiare le superfici ma sono ancora un po' in difficoltà con gli esercizi, ad esempio questo:
dimostrare che la porzione di superficie $y^2+z^2=2$ , $0\leqx\leq1$ è minore di $4pi$
so che le disequazioni rappresentano il cilindro con base sul piano $y,z$ e con la $x \in [0,1]$, ma non riesco ad impostare l'integrale perchè trovo difficoltà a parametrizzare la superficie . Forse ho sbagliato l'approccio all'esercizio. Potete suggerirmi come procedere?
grazie in anticipo
dimostrare che la porzione di superficie $y^2+z^2=2$ , $0\leqx\leq1$ è minore di $4pi$
so che le disequazioni rappresentano il cilindro con base sul piano $y,z$ e con la $x \in [0,1]$, ma non riesco ad impostare l'integrale perchè trovo difficoltà a parametrizzare la superficie . Forse ho sbagliato l'approccio all'esercizio. Potete suggerirmi come procedere?
grazie in anticipo
Risposte
Il cilindro in coordinate cartesiane è descritto dall'equazione $(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$, l'equazione parametrica corrispondente è ${(x=x_0+acostheta),(y=y_0+bsintheta),(z=z):}$
"Weierstress":
Il cilindro in coordinate cartesiane è descritto dall'equazione $(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$, l'equazione parametrica corrispondente è ${(x=x_0+acostheta),(y=y_0+bsintheta),(z=z):}$
ok, ci sono con la parametrizzazione che nel mio caso è ${ ( x=x ),( y=2costheta ),( z=2sintheta ):}$ con $ x in [0,1]$ e $theta in [0,2pi]$
ho calcolato i determinanti dei minori della Jacobiana e ho impostato l'integrale in questo modo
$A(S)=int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) sqrt(4(sen^2theta+cos^2theta)) d theta dx =4pi$
dov'è che sbaglio?
forse ho capito l'errore:la parametrizzazione è $(x,y(theta),z(theta))= x,sqrt(2)costheta, sqrt(2)sentheta$ e quidni $A(S)=2sqrt(2)pi$ ?
Sembra esatto (non ho svolto i calcoli)...
Scusate, ma non mi sembra il caso di fare tutti questi conti...
Come abbondantemente notato, la superficie assegnata $S$ è la superficie laterale di un cilindro circolare retto, con asse coincidente con le ascisse e base centrata nell'origine del piano $Oyz$; inoltre, il raggio di base è $r=sqrt(2)$ e l'altezza è $h=1$.
Per notissimi fatti di Geometria Elementare, l'area della superficie è data da:
\[
\operatorname{area}(S) = 2\pi r h = 2\sqrt{2} \pi
\]
e qui si conclude, perché $sqrt(2) <2$.
Come abbondantemente notato, la superficie assegnata $S$ è la superficie laterale di un cilindro circolare retto, con asse coincidente con le ascisse e base centrata nell'origine del piano $Oyz$; inoltre, il raggio di base è $r=sqrt(2)$ e l'altezza è $h=1$.
Per notissimi fatti di Geometria Elementare, l'area della superficie è data da:
\[
\operatorname{area}(S) = 2\pi r h = 2\sqrt{2} \pi
\]
e qui si conclude, perché $sqrt(2) <2$.
"gugo82":
Scusate, ma non mi sembra il caso di fare tutti questi conti...
Come abbondantemente notato, la superficie assegnata $S$ è la superficie laterale di un cilindro circolare retto, con asse coincidente con le ascisse e base centrata nell'origine del piano $Oyz$; inoltre, il raggio di base è $r=sqrt(2)$ e l'altezza è $h=1$.
Per notissimi fatti di Geometria Elementare, l'area della superficie è data da:
\[
\operatorname{area}(S) = 2\pi r h = 2\sqrt{2} \pi
\]
e qui si conclude, perché $sqrt(2) <2$.
Sisi sono d'accordo e ci avevo già pensato, era per capire meglio come calcolare le superfici usando gli integrali, in vista di esercizi più difficili
Grazie comunque a tutti per le risposte
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