Area di superficie di rotazione
Data la curva $vecgamma(t)=4sint vec i+4costveck$ con $vecgamma(t):[pi/6,pi/3]->RR^3$,
calcolare l’area della superficie $Sigma$ ottenuta ruotando attorno all’asse $z$ la curva $vecgamma$.
Per risolvere, nella soluzione c'è pure la formula da applicare. $2piint_(vecgamma)^() x$ (equivalentemente $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt$). La soluzione è $4pi(sqrt(3)-1).
Il mio problema è che, nonostante lo sappia risolvere, e ci sia anche la formula da applicare (il che conferma il mio svolgimento), mi viene una soluzione leggermente diversa!!
Allora, calcolo l'integrale $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt$. Ricavo le parti mancanti:
$vecgamma(t)=gamma_1(t) veci+0vecj+gamma_3(t)veck$, quindi nel mio caso $gamma_1(t)=4sint$.
Calcolo $gamma'(t)=4costveci-4sintveck$. Allora la norma è $||gamma'(t)||=sqrt((4cost)^2+(-4sint)^2)=sqrt(16cos^2t+16sin^2t)=sqrt(16(sin^2t+cos^2t))=sqrt(16)=4$
Adesso sostituisco nell'integrale: $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt=2piint_(pi/6)^(pi/3) 4sint *4 dt=32piint_(pi/6)^(pi/3) sint dt=32pi[-cost]_(pi/6)^(pi/3)=32pi(-1/2+sqrt(3)/2)=16pi(sqrt3-1)$.
Quindi a me viene $16pi(sqrt3-1)$ mentre la soluzione è $4pi(sqrt3-1)$. Riuscite a vedere dove sbaglio?
calcolare l’area della superficie $Sigma$ ottenuta ruotando attorno all’asse $z$ la curva $vecgamma$.
Per risolvere, nella soluzione c'è pure la formula da applicare. $2piint_(vecgamma)^() x$ (equivalentemente $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt$). La soluzione è $4pi(sqrt(3)-1).
Il mio problema è che, nonostante lo sappia risolvere, e ci sia anche la formula da applicare (il che conferma il mio svolgimento), mi viene una soluzione leggermente diversa!!
Allora, calcolo l'integrale $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt$. Ricavo le parti mancanti:
$vecgamma(t)=gamma_1(t) veci+0vecj+gamma_3(t)veck$, quindi nel mio caso $gamma_1(t)=4sint$.
Calcolo $gamma'(t)=4costveci-4sintveck$. Allora la norma è $||gamma'(t)||=sqrt((4cost)^2+(-4sint)^2)=sqrt(16cos^2t+16sin^2t)=sqrt(16(sin^2t+cos^2t))=sqrt(16)=4$
Adesso sostituisco nell'integrale: $2piint_(pi/6)^(pi/3) gamma_1(t) ||gamma'(t)|| dt=2piint_(pi/6)^(pi/3) 4sint *4 dt=32piint_(pi/6)^(pi/3) sint dt=32pi[-cost]_(pi/6)^(pi/3)=32pi(-1/2+sqrt(3)/2)=16pi(sqrt3-1)$.
Quindi a me viene $16pi(sqrt3-1)$ mentre la soluzione è $4pi(sqrt3-1)$. Riuscite a vedere dove sbaglio?
Risposte
A me pare giusto lui l'ha fatta ruotare di $\pi$
"legendre":
A me pare giusto lui l'ha fatta ruotare di $\pi$
Se l'avesse fatta ruotare di $pi$ non sarebbe $8pi(sqrt3-1)$?
Si giusto !Allora l'ha fatto ruotare di $\pi/2$.la formula e' $ int_(0 )^( \theta)d\theta int_( \gamma)^( ) xds $.I tuoi calcoli sono giusti credo
per cui il libro ha toppato
per cui il libro ha toppato
Strano!! Qualcun'altro sa quale possa essere il problema?
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