Area delle superfici di rotazione con la misura di Hausdorff

[irelimax]

Salve a tutti, mi sono imbattuta in alcuni esercizi in cui mi si chiede di calcolare l'area di superfici di rotazione, ma mi sfugge qualcosa. Il primo esempio è quello del toro in $R^3$. Considero nel piano $xz$ la curva $ \gamma ={ (x,0,z): (x-2)^2 + z^2 =1}$. Una parametrizzazione della ciroconferenza è $\gamma(u) = (2+cos(u), 0, sen (u))$ con $u \in [0, 2\pi]$. Adesso dovrei applicare il teorema per il calcolo della misura in haurdorff $\H_2 = \int_U sqrt (J^{t} J) du$, dove J è il determinante della matrice Jacobiana relativa alla paramentrizzazione....ma, da dove viene fuori
$2 \pi \int_{0}^{2\pi} (2+cos(u) sqrt{sin^2 (u) + cos^2 (u)} du) ?$
grazie

[Rigel1]

La superficie è parametrizzata da
\[
\sigma(u,v) = ((2+\cos u)\cos v, (2+\cos u)\sin v, \sin u), \qquad (u,v) \in U := [0,2\pi]\times [0, 2\pi].
\]
Devi calcolare la matrice Jacobiana \(J\) (che è una matrice \(3\times 2\)), poi calcolare \(J^T\cdot J\) (che è una matrice \(2\times 2\)), poi calcolarne il determinante e infine la radice quadrata; salvo errori, alla fine della procedura otterrai \(2+\cos u\).

[irelimax]

ok grazie mille! giusto!
ma....un'altra domanda esistenziale....se invece la rotazione avviene attorno ad un altro asse che nn sia z...ad esempio..ho una curva di equazioni parametriche:
$ x= \gamma_1 (u)
y= \gamma_2 (u)$ e faccio ruotare la curva attorno all'asse x... la parametrizzazione che ottengo della superficie è invece questa?
$(\gamma_2(u) cos v, \gamma_2(u) senv, \gamma_1) $

[irelimax]

mmm...forse ho detto una sciocchezza....

[Rigel1]

Se non sbaglio dovrebbe essere
\[
(\gamma_1(u), \gamma_2(u) \cos v, \gamma_2(u) \sin v).
\]

[irelimax]

ok grazie..dovrei esserci...