Area della frontiera
Buongiorno a tutti!
Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio;
Sia D= {(x,y,z): 4$(x-2+z)^2$+4$y^2$ $<=$ $(2-z)^2$ , 0$<=$x-z$<=$1} Calcolare l'area di $partial$D
Grazie a tutti!
Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio;
Sia D= {(x,y,z): 4$(x-2+z)^2$+4$y^2$ $<=$ $(2-z)^2$ , 0$<=$x-z$<=$1} Calcolare l'area di $partial$D
Grazie a tutti!
Risposte
da regolamento devi esporre un tuo tentativo
Buongiorno a tutti!
Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio;
Sia D= {(x,y,z): 4$(x-2+z)^2$+4$y^2$ $<=$ $(2-z)^2$ , 0$<=$x-z$<=$1} Calcolare l'area di $partial$D
Ho provato a sostituire (y-2+z) con a, y=b, e 2-z=c. Ho trovato dunque l'equazione 4$a^2$+4$b^2$ $<=$ $c^2$, che sarebbe l'equazione del cono con circonferenza di raggio c/2. Quindi x=a+c y=b z=2-c. I due piani che tagliano il cono sono dunque 0$<=$a+2c-2$<=$1. Non riesco però a impostare l'integrale con il suo jacobiano.
Grazie a tutti!
Chi mi aiuta a risolvere questo esercizio;
Sia D= {(x,y,z): 4$(x-2+z)^2$+4$y^2$ $<=$ $(2-z)^2$ , 0$<=$x-z$<=$1} Calcolare l'area di $partial$D
Ho provato a sostituire (y-2+z) con a, y=b, e 2-z=c. Ho trovato dunque l'equazione 4$a^2$+4$b^2$ $<=$ $c^2$, che sarebbe l'equazione del cono con circonferenza di raggio c/2. Quindi x=a+c y=b z=2-c. I due piani che tagliano il cono sono dunque 0$<=$a+2c-2$<=$1. Non riesco però a impostare l'integrale con il suo jacobiano.
Grazie a tutti!
Ho una soluzione da proporre per il tuo problema-
Purtroppo l'ho scritta in Word e con il suo editor di formule, che però non si "trasferisce" qui.
Devo dunque riscriverla nei format qui supportati.
Spero di farlo entro domani
Saluti
Alberto
Purtroppo l'ho scritta in Word e con il suo editor di formule, che però non si "trasferisce" qui.
Devo dunque riscriverla nei format qui supportati.
Spero di farlo entro domani
Saluti
Alberto
La superficie di equazione $ 4(x-2+z)^2+4y^2-(2-z)^2=0 $ descrive il "mantello" di un cono rotondo ad asse obliquo, che ha il vertice nel punto V =(0,0,2) ed asse definito dalla retta:
$ { ( x+z=2 ),( y=0 ):} $
I piani orizzontali $ z=h $ tagliano il cono lungo circonferenze di centro C=((2-h),0,h) e raggio $ r=1-h/2 $
I piani $ x-z=k $ tagliano il cono lungo ellissi di equazione
$ 15/4x^2+y^2-7(k/2+1)x+3(k/2+1)^2=0 $
cui corrispondono semiassi (b= semiasse maggiore)
$ a=4/15(k/2+1) $
$ b=2/sqrt(15)(k/2+1) $
Ogni ellisse ha lunghezza
$ l=4bE(e^2) $
con:
b= semiasse maggiore (vedi sopra)
e= eccentricità= $ c/b $
c= semidistanza focale = $ sqrt(b^2-a^2) $
a= semiasse minore
$ E(e^2) $ = ben noto integrale ellittico, opportunamente tabulato in funzione dell'eccentricità $ e $
Dunque:
$ l=8/sqrt(15)E(e^2)(k/2+1) $
A questo punto basta integrare la precedente espressione rispetto a $ k $ , con estremi di integrazione $ [0,1] $ :
$ int_(0)^(1) 8/sqrt(15)E(e^2)(k/2+1) dk =8/sqrt(15)E(e^2)[k^2/4+k]{::}_(\ \ o)^(1) =8/sqrt(15)*5/4E(e^2)=2*sqrt(5/3)E(e^2) $
C'è da dire che, anche se $ c=sqrt(b^2-a^2) $ è variabile con $ k $ , non accade la stessa cosa per $ e=c/b $ che, invece, nel nostro caso, resta costante e pari a $ sqrt(33/5) $
Pertanto, anche $ E(e^2)=E(33/5) $ è una costante, per cui è stato lecito portarla fuori dal segno di integrale.
Per il suo valore, basta consultare le apposite tabelle
Spero di esserti stato di aiuto
Bonne chance
Alberto
$ { ( x+z=2 ),( y=0 ):} $
I piani orizzontali $ z=h $ tagliano il cono lungo circonferenze di centro C=((2-h),0,h) e raggio $ r=1-h/2 $
I piani $ x-z=k $ tagliano il cono lungo ellissi di equazione
$ 15/4x^2+y^2-7(k/2+1)x+3(k/2+1)^2=0 $
cui corrispondono semiassi (b= semiasse maggiore)
$ a=4/15(k/2+1) $
$ b=2/sqrt(15)(k/2+1) $
Ogni ellisse ha lunghezza
$ l=4bE(e^2) $
con:
b= semiasse maggiore (vedi sopra)
e= eccentricità= $ c/b $
c= semidistanza focale = $ sqrt(b^2-a^2) $
a= semiasse minore
$ E(e^2) $ = ben noto integrale ellittico, opportunamente tabulato in funzione dell'eccentricità $ e $
Dunque:
$ l=8/sqrt(15)E(e^2)(k/2+1) $
A questo punto basta integrare la precedente espressione rispetto a $ k $ , con estremi di integrazione $ [0,1] $ :
$ int_(0)^(1) 8/sqrt(15)E(e^2)(k/2+1) dk =8/sqrt(15)E(e^2)[k^2/4+k]{::}_(\ \ o)^(1) =8/sqrt(15)*5/4E(e^2)=2*sqrt(5/3)E(e^2) $
C'è da dire che, anche se $ c=sqrt(b^2-a^2) $ è variabile con $ k $ , non accade la stessa cosa per $ e=c/b $ che, invece, nel nostro caso, resta costante e pari a $ sqrt(33/5) $
Pertanto, anche $ E(e^2)=E(33/5) $ è una costante, per cui è stato lecito portarla fuori dal segno di integrale.
Per il suo valore, basta consultare le apposite tabelle
Spero di esserti stato di aiuto
Bonne chance
Alberto
Grazie mille davvero!! Spiegato benissimo!
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