Area del dominio
Ciao a tutti,
avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Calcolare l'area del seguente dominio:
$D={(x,y):x>=0,y>=-x^2,x^2+y^2<=2}$
Ho pensato di trasformare le coordinate parametriche in polari,ma ho un problema nel trovare gli estremi di integrazione per $r$ e $\theta$.Potreste darmi una mano??
Grazie
avrei bisogno di aiuto con questo esercizio:
Calcolare l'area del seguente dominio:
$D={(x,y):x>=0,y>=-x^2,x^2+y^2<=2}$
Ho pensato di trasformare le coordinate parametriche in polari,ma ho un problema nel trovare gli estremi di integrazione per $r$ e $\theta$.Potreste darmi una mano??
Grazie
Risposte
Io non passerei in coordinate polari... hai fatto un disegno? Dovrebbe apparirti abbastanza chiaramente che se lo si decompone opportunamente la cosa diventa semplice.
si l'ho fatto un disegno, ma non mi sembra tanto semplice decomporlo in parti semplici
A meno che tu non riesca a disegnarlo e farmi vedere un'immagine, prova a spiegarmi a parole com'è fatto il dominio... così intanto vediamo se lo hai disegnato bene... e poi mi dici quale difficoltà incontri nel decomporlo in modo che il calcolo dell'area sia facile.
Volevo fare il disegnino ma ci metto troppo tempo.A parole:c'è la circonferenza di raggio $sqrt2$ e la parabola rivolta verso il basso $y=-x^2$ che si intersecano.I punti sono al di sopra del grafico della paraola ,nella circonferenza, per $x>=0$.Quindi prendiamo il primo quadrante della circonferenza e uno spicchio piccolo al di sopra della parabola.
Benissimo... L'area del quarto di cerchio è immediatamente determinabile... resta da decomporre la parte di piano delimitata dall'asse \( x \), dall'arco di parabola e dall'arco di circonferenza.
L'area del quarto di cerchio come posso esprimerla in coordinate non polari?
Vanno bene gli estremi $0<=x<=sqrt2$ e $0<=y<=sqrt(2-x^2)$?
Vanno bene gli estremi $0<=x<=sqrt2$ e $0<=y<=sqrt(2-x^2)$?
Ma è un quarto di cerchio... possibile che ti servano gli integrali per calcolarne l'area??? Ragazzi, dai, non ci dimentichiamo che Euclide è venuto prima di Riemann e Lebesgue!
L'area è quella azzurra.
Direi che la cosa da fare è trovare i punti in cui parabola e circonferenza si intersecano.
$\{(x^2+y^2 = 2),(y=-x^2):}$
$-y+y^2=2$
$y^2-y-2=0$
$y=-1$ $->$ $x=+-1$
(la soluzione $y=2$ comporta un $x$ complesso quindi la cestiniamo). A te interessa il punto di coordinate $x=1$ e $y=-1$.
Ah...la beata geometria analitica.... La semicirconferenza inferiore è ovviamente la funzione
$y=-\sqrt{2-x^2}$
Quindi l'area "sotto", quella che richiede l'integrale è data da:
$|\int_0^1 -x^2 \quad \text{d} x| + |\int_1^\sqrt{2} -\sqrt{2-x^2} \quad \text{d} x| = 1/3 + (\pi-2)/4 = (3 \pi -2)/12$
Sommando a quarto di cerchio, hai
$\pi/2 + (3 \pi -2)/12 = (9 \pi -2)/12 ~~2.189527823$
Direi che la cosa da fare è trovare i punti in cui parabola e circonferenza si intersecano.
$\{(x^2+y^2 = 2),(y=-x^2):}$
$-y+y^2=2$
$y^2-y-2=0$
$y=-1$ $->$ $x=+-1$
(la soluzione $y=2$ comporta un $x$ complesso quindi la cestiniamo). A te interessa il punto di coordinate $x=1$ e $y=-1$.
Ah...la beata geometria analitica.... La semicirconferenza inferiore è ovviamente la funzione
$y=-\sqrt{2-x^2}$
Quindi l'area "sotto", quella che richiede l'integrale è data da:
$|\int_0^1 -x^2 \quad \text{d} x| + |\int_1^\sqrt{2} -\sqrt{2-x^2} \quad \text{d} x| = 1/3 + (\pi-2)/4 = (3 \pi -2)/12$
Sommando a quarto di cerchio, hai
$\pi/2 + (3 \pi -2)/12 = (9 \pi -2)/12 ~~2.189527823$
avevo iniziato sfruttando gli integrali e volevo continuare a usarli se non ti dispiace, visto che l'esercizio richiedeva l'uso degli integrali 
Come puoi vedere, ti hanno risolto il problema. L'esercizio richiedeva l'uso degli integrali, e difatti quelli occorrono per fornire la risposta finale al quesito... ma, in tutta onestà, usare gli integrali doppi e le coordinate polari per determinare l'area di un cerchio mi sembra un po' come sparare le mosche con il bazooka... poi, de gustibus. Ciao.
Ciao.
Capisco ma il mio intento era soprattutto esercitarmi con gli integrali doppi piuttosto che prendere $\pir^2/4$ e sostituire.Penso che l'esercizio si poteva risolvere in tanti altri modi...grazie comunque dell'aiuto 
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