Area compresa fra una curva polare e un segmento
Ciao!
Devo calcolare l'area della regione di piano compresa fra il cardioide in coordinate polari $ \rho = 1 + cos\theta\ $ dove $ \theta\ \in\ [0, \pi\] $ e dal segmento $ {(t,0), t \in\(0, 2)} $ .
Io ho provato a individuare geometricamente la regione di cui devo calcolare l'area, e sono arrivato alla conclusione (probabilmente errata) che fosse la regione di cardioide per $ \theta\ \in\ [0, \pi\/2] $ , ma usando l'integrale per il calcolo dell'area di una curva polare ho ottenuto $ 3/4 - 2 = -5/4 $ invece che $ 3/4 $ come indicato nella soluzione.
Al di là del singolo esercizio, mi piacerebbe capire come affrontare questo genere di esercizi (calcolo di aree delimitate da più curve che formano un'unica curva chiusa), perché mi sto accorgendo che ho difficoltà ad approcciarmi a questo genere di esercizi in generale.
Grazie per l'aiuto
Devo calcolare l'area della regione di piano compresa fra il cardioide in coordinate polari $ \rho = 1 + cos\theta\ $ dove $ \theta\ \in\ [0, \pi\] $ e dal segmento $ {(t,0), t \in\(0, 2)} $ .
Io ho provato a individuare geometricamente la regione di cui devo calcolare l'area, e sono arrivato alla conclusione (probabilmente errata) che fosse la regione di cardioide per $ \theta\ \in\ [0, \pi\/2] $ , ma usando l'integrale per il calcolo dell'area di una curva polare ho ottenuto $ 3/4 - 2 = -5/4 $ invece che $ 3/4 $ come indicato nella soluzione.
Al di là del singolo esercizio, mi piacerebbe capire come affrontare questo genere di esercizi (calcolo di aree delimitate da più curve che formano un'unica curva chiusa), perché mi sto accorgendo che ho difficoltà ad approcciarmi a questo genere di esercizi in generale.
Grazie per l'aiuto
Risposte
secondo me è proprio l'area compresa tra il cardiode con $theta in [0,pi]$ e l'asse delle x
quella detta da te mi sembra l'area compresa tra il cardioide e i due assi
premetto che non ho confidenza con questi esercizi ma a me verrebbe da usare una delle formule di Gauss-Green
$ int int_(D) dx dy= int_(+FD)xy'dt $
ad esempio il cardioide si può parametrizzare con
$x=(1+costheta)costheta$
$y=(1+costheta)sentheta$
quella detta da te mi sembra l'area compresa tra il cardioide e i due assi
premetto che non ho confidenza con questi esercizi ma a me verrebbe da usare una delle formule di Gauss-Green
$ int int_(D) dx dy= int_(+FD)xy'dt $
ad esempio il cardioide si può parametrizzare con
$x=(1+costheta)costheta$
$y=(1+costheta)sentheta$
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