Arcsin(x+y)
La formula relativa ad arcsin(x+y) è certamente poco nota. Sono riuscito a trovarla, dopo numerose e infruttuose ricerche a https://it.wikipedia.org/wiki/Arcoseno.
Stamani mi sono proposto di scriverne una piu' semplice: ecco il risultato.
Dopo averla verificata ho avuto una bella soddisfazione: la formula è giusta e notevolmente piu' semplice di quella nota.
$\arcsin (x+y)=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}+\arcsin \frac{y\sqrt{1-(x+y)^2}}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}$
vedo che ho fatto un disastro in Latex (lo conosco poco e non ho tempo per cercare gl errori), grazie mille in anticipoa chi mi corregge.
[xdom="Martino"]Corretto il tex.[/xdom]
Stamani mi sono proposto di scriverne una piu' semplice: ecco il risultato.
Dopo averla verificata ho avuto una bella soddisfazione: la formula è giusta e notevolmente piu' semplice di quella nota.
$\arcsin (x+y)=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}+\arcsin \frac{y\sqrt{1-(x+y)^2}}{\sqrt{x^2+1-(x+y)^2}}$
vedo che ho fatto un disastro in Latex (lo conosco poco e non ho tempo per cercare gl errori), grazie mille in anticipoa chi mi corregge.
[xdom="Martino"]Corretto il tex.[/xdom]
Risposte
Mi sembra ok, senonché c'è un campo di esistenza da imporre. $x,y$ stanno tra $-1$ e $1$, inoltre $x^2+1 > (x+y)^2$ ovvero $y(2x+y) < 1$. E anche $-1 le x+y le 1$. Mi sembra che questo escluda solo due punti, $(x,y) = (0,pm 1)$
Ti ringrazio molto. Nell'entusiasmo ho dimenticato le condizioni di esistenza:
Grazie mille per la correzione.
Grazie mille per la correzione.
Una persona mi ha scritto che questa formula è solo una manipolazione algebrica. Purtroppo la persona che cosi' ha scritto non è un laureato in legge ma qualcuno che pare occuparsi di matematica. la formula che ho scritto , e che è notevolmente piu' semplice di quella nota, l'ho ottenuta rapidamente , ragionando, di manipolazioni algebriche non c'e' nulla; sono le considerazioni geometriche che mi permettono, spesso, di ottenere con facilità risultati sorprendenti arrivando talvolta ove nessuno era mai arrivato.
Una delle molle della matematica è la curiosità: chi di fronte a una formula come questa, molto piu' semplice di quella nota, rimane indifferente per la matematica è poco portato.
Ci sono però , nella vita, anche persone che di fronte a certi risultati si sentono piccine piccine e preferiscono far finta di nulla o sminuirli. Mia madre, persona ammirevole, diceva sempre: la gelosia è una brutta malattia...
Una delle molle della matematica è la curiosità: chi di fronte a una formula come questa, molto piu' semplice di quella nota, rimane indifferente per la matematica è poco portato.
Ci sono però , nella vita, anche persone che di fronte a certi risultati si sentono piccine piccine e preferiscono far finta di nulla o sminuirli. Mia madre, persona ammirevole, diceva sempre: la gelosia è una brutta malattia...
"Oliver Heaviside":
Una persona mi ha scritto che questa formula è solo una manipolazione algebrica. Purtroppo la persona che cosi' ha scritto non è un laureato in legge ma qualcuno che pare occuparsi di matematica. la formula che ho scritto , e che è notevolmente piu' semplice di quella nota, l'ho ottenuta rapidamente , ragionando, di manipolazioni algebriche non c'e' nulla; sono le considerazioni geometriche che mi permettono, spesso, di ottenere con facilità risultati sorprendenti arrivando talvolta ove nessuno era mai arrivato.
Una delle molle della matematica è la curiosità: chi di fronte a una formula come questa, molto piu' semplice di quella nota, rimane indifferente per la matematica è poco portato.
Ci sono però , nella vita, anche persone che di fronte a certi risultati si sentono piccine piccine e preferiscono far finta di nulla o sminuirli. Mia madre, persona ammirevole, diceva sempre: la gelosia è una brutta malattia...
Spesso la geometria e l'algebra vanno di pari passo: ciò che ottieni con considerazioni geometriche, le puoi ottenere anche tramite procedimenti algebrici.
Per fare un esempio concreto: l'attuale analisi (continuità, differenziabilità, convergenza) era partita con considerazioni puramente geometriche, ed ora si basa quasi unicamente sull'algebra (se ci fai caso, le definizioni di continuità e limite sono disuguaglianze algebriche).
Vedendo la formula su wikipedia e la tua, anche a me sembra non troppo difficile ottenere l'una dall'altra tramite manipolazioni algebriche (anche perché sono due formulazioni equivalenti, in qualche modo devono essere ricavabili l'una dall'altra).
Detto ciò, non voglio sminuire il tuo lavoro, semplicemente ci sono procedimenti diversi che portano allo stesso risultato.
Inoltre conta che, obiettivamente, non si è fatta una chissà qualche grande scoperta: di formule di addizione e sottrazione di funzioni trigonometriche ve ne sono a bizzeffe, tutte equivalenti tra di loro.
D'altro canto, capisco che magari per una persona che ha iniziato da poco a studiare matematica, giungere da solo ad un risultato così sia qualcosa di estremamente appagante, e questo deve solo spingerti ad andare oltre e continuare nello studio
Diciamo che voglio farti render conto che la matematica "vera" non è trovare nuove formule per l'arcoseno (che è studiato dal 1700, dai tempi di Eulero), ma sono cose estremamente più profonde che scoprirai andando più avanti. Ovviamente bisogna partire dalle basi ed essere orgogliosi dei piccoli risultati (ripeto, anche se ben noti) che si riesce a trovare, che servono a spronare per andare avanti.
Proprio oggi stavo leggendo il libro di Askey "Special functions and orthogonal polynomials", un classico. A pagina 65 si parla esattamente di questo: la riscoperta delle formule. È una cosa che capita, nel libro si parla di alcuni casi, ed ecco cosa ne pensa il professor Askey:
È sicuro che la formula con l'arcoseno del nostro amico O.H. sia uno di questi casi di "riscoperta". Il fatto che non sia sulla Wikipedia italiana non è sufficiente a garantire che sia completamente nuova. Ma questo non sminuisce il lavoro di O.H. Io lo incoraggio a fare una ricerca nei formulari e nei libri più vecchi e ritrovare la sua formula. Fatto ciò, il suo lavoro sarà AUMENTATO di valore e potrà essere scritto in un articolo breve, con riferimenti storici, e pubblicato su una rivista come ad esempio quella di Matematicamente.
It is not surprising that the formula ... was overlooked for so long because Gegenbauer has hundreds of formulas in his papers and very few of them are used. There may be other important formulas there which have been overlooked, but they will probably not be appreciated until they are rediscovered and
used. ... Periodic checks should be made of these old papers to see what has been rediscovered that was once known but was forgotten because no one knew how to use it. One can hope to be lucky and find a formula
which is just what is needed, but my experience is that this almost never happens.You find a formula in an old paper only after you have rediscovered it.
È sicuro che la formula con l'arcoseno del nostro amico O.H. sia uno di questi casi di "riscoperta". Il fatto che non sia sulla Wikipedia italiana non è sufficiente a garantire che sia completamente nuova. Ma questo non sminuisce il lavoro di O.H. Io lo incoraggio a fare una ricerca nei formulari e nei libri più vecchi e ritrovare la sua formula. Fatto ciò, il suo lavoro sarà AUMENTATO di valore e potrà essere scritto in un articolo breve, con riferimenti storici, e pubblicato su una rivista come ad esempio quella di Matematicamente.
Mi sembra di capire che la formula risulti dal determinare $s$ e $u$ in funzione di $x$ e $y$ nel disegno seguente, usando la similitudine dei triangoli.
Si tratta di un esercizio molto interessante per gli studenti delle superiori, e anche secondo me Oliver potrebbe scrivere un articolo in merito, perché questo tipo di cose suscita la curiosità degli studenti.
PS. Ho provato ad inserire un grafico usando Geonext, qualcuno sa come si fa? Non capisco se ho un problema con Java.
Si tratta di un esercizio molto interessante per gli studenti delle superiori, e anche secondo me Oliver potrebbe scrivere un articolo in merito, perché questo tipo di cose suscita la curiosità degli studenti.
PS. Ho provato ad inserire un grafico usando Geonext, qualcuno sa come si fa? Non capisco se ho un problema con Java.
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