Arcotangente invisibile

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Ciao a tutti, è molto che non scrivo causa il poco tempo, ma oggi durante l'esame di metodi matematici... in un'equazione differenziale dovevo integrare questa roba qua e non ne sono stato capace :/
Il risultato è un'arcotangente più un logaritmo (almeno credo)... ma non ho idea da dove si ricavino...
Il testo è:

$int (y+2)/(1+y+y^2)dy$

Se mi potete aiutare vi sarei grato, anche perchè preferirei andare all'orale con almeno sapere quello che ho lasciato...
Ufff
Scusate... e grazie in anticipo...

Se potete mi postate l'intero svolgimento? grazie ancora...

[irenze]

l'idea di darti la pappa pronta non mi piace per niente ed è anche "faticosa", quindi ti dò un paio di hint.
comincia col farti venire la derivata del denominatore al numeratore: prima moltiplichi e dividi per $2$ e poi separi il pezzo che ha sopra la derivata (da cui verrà il logaritmo) da un pezzo che è costante fratto il denominatore (da cui verrà l'arcotangente perché il denominatore è irriducibile)
una volta che sei lì devi solo fare cambiamenti di variabile lineari per ottenere il risultato.

prova a postare il procedimento e dì dove ti blocchi, ok?

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"irenze":l'idea di darti la pappa pronta non mi piace per niente ed è anche "faticosa", quindi ti dò un paio di hint.
comincia col farti venire la derivata del denominatore al numeratore: prima moltiplichi e dividi per $2$ e poi separi il pezzo che ha sopra la derivata (da cui verrà il logaritmo) da un pezzo che è costante fratto il denominatore (da cui verrà l'arcotangente perché il denominatore è irriducibile)
una volta che sei lì devi solo fare cambiamenti di variabile lineari per ottenere il risultato.

prova a postare il procedimento e dì dove ti blocchi, ok?

yes!
Io avevo provato con:
$int (y+2 +y-y+1-1)/(1+y+y^2)dy = int (2y+1)/(1+y+y^2) + int (1-y)/(1+y+y^2) dy = ln|1+y+y^2| +int (1-y)/(1+y+y^2)$

Secondo come dici te dovrei avere:
$1/2 int (2y+4)/(1+y+y^2)dy = 1/2 int (2y+1)/(1+y+y^2)dy +1/2 int (3)/(1+y+y^2)dy$
e il logaritmo c'è!
$ = ln|(1+y+y^2)^(1/2)| + $ blabla

e l'arcotangente? io ho solo la formula:
$int (f'(x))/(1+f^2(x)) = arctg(f(x))

come riduco $1+y+y^2$ in una cosa del tipo $1+f^2(x)$ ?!?
oppure l'$1$ può essere altro?

[irenze]

qui (a pag. 16-17, per la precisione) trovi il procedimento per ridurti da $1 + y + y^2$ a $1 + z^2$
se mi dai un po' di tempo te lo posso anche fare, ma forse è più istruttivo se ci provi da solo

[irenze]

ho controllato il tuo procedimento (il secondo), è corretto

ecco la soluzione per l'altro pezzo (prometti che ci proverai da solo prima di guardare, però! )

abbiamo $3/2 \int{{dy}/{1 + y + y^2}}$, lasciamo perdere la costante a moltiplicare (è una costante!) e cerchiamo di calcolare
$\int{{dy}/{1 + y + y^2}}$

ora, il denominatore è della forma $y^2 + 2by + c$ con $b^2 - c < 0$ (cioè è irriducibile)
noi vogliamo arrivare ad una somma di quadrati
il secondo pezzo è "quasi" un quadrato (di $1/2 + y$), quindi sommiamo e sottraiamo $1/4$ per completarlo:
$1 + y + y^2 = (1 - 1/4) + (1/4 + y + y^2) = (1 - 1/4) + (1/2 + y)^2$
ora è chiaro quale deve essere la prima sostituzione: $t = 1/2 + y$ ($dt = dy$)
e con questo passiamo all'integrale
$\int{{dt}/{3/4 + t^2}}$
ora, moltiplichiamo e dividiamo per $3/4$:
$\int{{dt}/{3/4 + t^2}} = 4/3 \int{{dt}/{1 + {t^2}/{3/4}}}$
e a questo punto è chiara anche la seconda sostituzione: $z = {2t}/{\sqrt{3}}$ ($dz = 2/{\sqrt{3}} dt$)
$\int{{dt}/{3/4 + t^2}} = 2/{\sqrt{3}} \int{{dz}{1 + z^2}} =$
$= 2/{\sqrt{3}} arctg{z} = 2/{\sqrt{3}} arctg{{2t}/{\sqrt{3}}} = 2/{\sqrt(3)} arctg{{1 + 2y}/{\sqrt{3}}}$

in definitiva, il secondo pezzo viene
$3/2 \int{{dy}/{1 + y + y^2}} = \sqrt(3) arctg{{1 + 2y}/{\sqrt{3}}}$

[Spire]

Io ho provato... ho fatto prima la scomposizione e poi l'integrale (mi sembrava più facile da fare)... però ribadisco il mio sgomento!
Non ci avrei mai pensato, nemmeno per l'anticamera del cervello una cosa simile mi sarebbe venuta in mente O_O
Grazie... mi hai aperto un mondo nuovo (e non sto scherzando).


$y^2+y+1$
Dalle slide avevo messo:
$b= 1/2$
$c=1$
$v=sqrt(c-b^2)=sqrt(1-1/4)=sqrt(3/4)=sqrt(3)/2$

Il polinomio quindi:
$y^2+y+1 = y^2 + y + b^2 + (c-b^2) = y^2 + y + 1/4 + 3/4 = (y+1/4)^2+3/4 = 4/3 [((y+1/4)/(sqrt(3)/2))^2 +1]

Rammento il nuovo sgomento dopo aver visto cosa ho scritto! (Sperando che sia scritto correttamente)
Grazie ancora!!!

[irenze]

Beh, quello è il "riassunto" di un procedimento, il ragionamento che c'è dietro è quello che ti ho fatto io (prima porti il polinomio alla somma di due quadrati e poi la normalizzi).
Ma davvero non l'avevi mai visto?

P.S. Quelle dispense sono molto ben fatte (io ci ho studiato sopra un po' di anni fa - diciamo che sono state scritte per me - quindi le conosco bene...), se ti serve qualcosa (di analisi "elementare") dacci un'occhiata, probabilmente lo trovi spiegato lì in maniera molto chiara.

[irenze]

P.P.S. Prego!!!

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Giuro che non avevo mai visto una cosa simile, ma perchè la mia esperienza non è così elevata
In ogni caso ci studierò sopra.
Grazie ancora