Arcotangente

[brownbetty1]

Salve a tutti,

data la funzione $U(x;y) = arctg(y) - arctg(x/y) + arctg(1/y)$,

e sapendo che $arctg(1/z) = {(pi/2 - arctg(z), z > 0), (-pi/2 - arctg(z), z < 0):}$,

voglio provare che $U(x;y) = {(arctg(y/x), x > 0, y >= 0), (pi/2, x = 0, y > 0), (arctg(y/x) + pi, x < 0, y > 0):}$.

Sostituendo la seconda nella prima, sono riuscito a provare il caso in cui $x = 0, y > 0$, ma per quanto riguarda gli altri, non ho alcuna idea.

Potete aiutarmi ?

Grazie in anticipo

[poll89]

Dunque, la relazione chiave è quella che ti è stata data, $ arctg(1/z) = {(pi/2 - arctg(z), z > 0), (-pi/2 - arctg(z), z < 0):} $

Applicala a $ U(x;y) = arctg(y) + arctg(1/y) - arctg(x/y)$. Dato che $y>0$ sempre hai $ U(x;y) = pi/2 - arctg(x/y) $
Essendo $arctg(0) = 0$, il caso $x=0$ è immediato.

Ora applica la proprietà chiave a $arctg(x/y)$ negli altri due casi ed avrai risolto.

[brownbetty1]

Grazie infinite, adesso ho capito!