Arco di ellisse; dove sbaglio?
Mi è sorto un problema semplicissimo ma due ragionamenti diversi mi conducono a risultati diversi. Potete aiutarmi a trovare l'errore? Il problema è il seguente:
Data l'ellisse di equazioni parametriche
${(x=acosphi),(y=bsinphi):}$
scrivere l'integrale che permette il calcolo di $s(alpha)$, arco compreso fra $phi=0$ e $phi=alpha$.
Mi interessa solo il caso $0<=alpha<=pi/2$.
Primo ragionamento:
$s(alpha)=int_0^alpha rho dphi=int_0^alpha sqrt(x^2+y^2)dphi=int_0^alpha sqrt(a^2cos^2phi+b^2sin^2phi)dphi$
Secondo ragionamento:
$s(alpha)=int_0^alpha sqrt((dx)^2+(dy)^2)=int_0^alpha sqrt((-asinphi dphi)^2+(bcosphidphi)^2)=int_0^alpha sqrt(a^2sin^2phi+b^2cos^2phi)dphi$
I due risultati sono uguali per $alpha=0$ (sono entrambi zero) e per $alpha=pi/2$ (basta fare la sostituzione $phi=pi/2-theta$) ma non in generale. Ad esempio, per $alpha$ così piccolo da poter fare le approssimazioni $sinphi=0$ e $cosphi=1$ i risultati approssimati di $s(alpha)$ sono $a alpha$ (ragionevole) e $b alpha$ (assurdo). L'errore è quindi nel secondo ragionamento, ma qual è?
Data l'ellisse di equazioni parametriche
${(x=acosphi),(y=bsinphi):}$
scrivere l'integrale che permette il calcolo di $s(alpha)$, arco compreso fra $phi=0$ e $phi=alpha$.
Mi interessa solo il caso $0<=alpha<=pi/2$.
Primo ragionamento:
$s(alpha)=int_0^alpha rho dphi=int_0^alpha sqrt(x^2+y^2)dphi=int_0^alpha sqrt(a^2cos^2phi+b^2sin^2phi)dphi$
Secondo ragionamento:
$s(alpha)=int_0^alpha sqrt((dx)^2+(dy)^2)=int_0^alpha sqrt((-asinphi dphi)^2+(bcosphidphi)^2)=int_0^alpha sqrt(a^2sin^2phi+b^2cos^2phi)dphi$
I due risultati sono uguali per $alpha=0$ (sono entrambi zero) e per $alpha=pi/2$ (basta fare la sostituzione $phi=pi/2-theta$) ma non in generale. Ad esempio, per $alpha$ così piccolo da poter fare le approssimazioni $sinphi=0$ e $cosphi=1$ i risultati approssimati di $s(alpha)$ sono $a alpha$ (ragionevole) e $b alpha$ (assurdo). L'errore è quindi nel secondo ragionamento, ma qual è?
Risposte
Scusa non ho capito perché $a\alpha$ è più ragionevole di $b\alpha$... 
Il secondo ragionamento mi sembra impeccabile vista la parametrizzazione, i dubbi mi vengono più che altro sul primo...
Il secondo ragionamento mi sembra impeccabile vista la parametrizzazione, i dubbi mi vengono più che altro sul primo...
Per $alpha$ piccolo siamo vicini all'asse $x$ e lì l'ellisse approssima una circonferenza di raggio $a$; l'arco di circonferenza è appunto $aalpha$.
Non voglio dire una cavolata ma per $alpha ~~ 0$ la differenza $(b-a)\alpha~~0$, cioè per fare un'approssimazione del genere per il seno significa che hai posto $\alpha$ talmente piccolo da rendere trascurabile quella differenza qualunque sia il valore di $a$ e di $b$
Diverso discorso se usi l'approssimazioni $\sin \phi~~\phi$ e $\cos(\phi)~~1$
Diverso discorso se usi l'approssimazioni $\sin \phi~~\phi$ e $\cos(\phi)~~1$
Anzi no, viene pure con quelle approssimazioni 
Nessuno sa darmi spiegazioni?
In loro assenza sto mettendo in dubbio buona parte delle mie convinzioni matematiche.
In loro assenza sto mettendo in dubbio buona parte delle mie convinzioni matematiche.
Ho trovato l'errore, ed aveva ragione dan 95 nell'avere dubbi sulla prima soluzione: quella giusta è la seconda.
L'errore sta nel fatto che $phi$ è solo un parametro mentre io l'ho trattato come se fosse l'anomalia $theta$; le due grandezze sono collegata da
$tan theta=y/x=b/atanphi$
Il primo ragionamento è quindi completamente sbagliato perché parte da $ds=rho dphi$ anziché dal corretto $ds=rho d theta$, mentre non ci sono obiezioni sul secondo, che non usa l'anomalia. Ne avevo ritenuto giusto il risultato pensando ad un angolo $alpha$ molto piccolo, ma anche lì avevo fatto la stessa confusione. Per $phi=alpha$ piccolo, è piccolo anche $theta=alpha_1$ e la formula precedente è approssimata da
$alpha_1=b/a alpha$
L'arco della circonferenza di raggio $a$ che lì approssima l'ellisse vale quindi
$aalpha_1=a*b/aalpha=balpha$
L'errore sta nel fatto che $phi$ è solo un parametro mentre io l'ho trattato come se fosse l'anomalia $theta$; le due grandezze sono collegata da
$tan theta=y/x=b/atanphi$
Il primo ragionamento è quindi completamente sbagliato perché parte da $ds=rho dphi$ anziché dal corretto $ds=rho d theta$, mentre non ci sono obiezioni sul secondo, che non usa l'anomalia. Ne avevo ritenuto giusto il risultato pensando ad un angolo $alpha$ molto piccolo, ma anche lì avevo fatto la stessa confusione. Per $phi=alpha$ piccolo, è piccolo anche $theta=alpha_1$ e la formula precedente è approssimata da
$alpha_1=b/a alpha$
L'arco della circonferenza di raggio $a$ che lì approssima l'ellisse vale quindi
$aalpha_1=a*b/aalpha=balpha$
Meno male va...tutto bene quel che finisce bene 
Sinceramente, giammaria, non ho capito le tue considerazioni sul primo calcolo...
La lunghezza di una curva regolare chiusa \(\Gamma\) parametrizzata da \(\mathbf{r}(t)=(x(t), y(t))\), con \(t\in [a,b]\), si calcola usando la nota formula:
\[
\ell (\Gamma) = \int_a^b \sqrt{\dot{x}^2 (t) + \dot{y}^2 (t)}\ \text{d} t
\]
in cui il puntino denota derivazione rispetto al parametro. Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
\ell (\Gamma) &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \sin^2 \phi + b^2\cos^2 \phi}\ \text{d} \phi\\
&= 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2 \phi + b^2\cos^2 \phi}\ \text{d} \phi\\
&= 4 b \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 + \left( \frac{a^2}{b^2}-1\right) \sin^2 \phi}\ \text{d} \phi\; .
\end{split}
\]
Ah... Forse pensavi che quella dell'ellisse fosse una rappresentazione polare?
Perché evidentemente non lo è.
La lunghezza di una curva regolare chiusa \(\Gamma\) parametrizzata da \(\mathbf{r}(t)=(x(t), y(t))\), con \(t\in [a,b]\), si calcola usando la nota formula:
\[
\ell (\Gamma) = \int_a^b \sqrt{\dot{x}^2 (t) + \dot{y}^2 (t)}\ \text{d} t
\]
in cui il puntino denota derivazione rispetto al parametro. Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
\ell (\Gamma) &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \sin^2 \phi + b^2\cos^2 \phi}\ \text{d} \phi\\
&= 4 \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 \sin^2 \phi + b^2\cos^2 \phi}\ \text{d} \phi\\
&= 4 b \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 + \left( \frac{a^2}{b^2}-1\right) \sin^2 \phi}\ \text{d} \phi\; .
\end{split}
\]
Ah... Forse pensavi che quella dell'ellisse fosse una rappresentazione polare?
Perché evidentemente non lo è.
@ gugo
Il calcolo che fai è quello del secondo ragionamento, ed infatti ottieni il suo risultato; l'errore del primo ragionamento è stato proprio quello che ipotizzi nelle ultime due righe e l'ho ripetuto nelle mie considerazioni su $alpha$ piccolo.
Per fortuna ora l'ho trovato, come ho scritto nel mio ultimo post.
Il calcolo che fai è quello del secondo ragionamento, ed infatti ottieni il suo risultato; l'errore del primo ragionamento è stato proprio quello che ipotizzi nelle ultime due righe e l'ho ripetuto nelle mie considerazioni su $alpha$ piccolo.
Per fortuna ora l'ho trovato, come ho scritto nel mio ultimo post.
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