Arco di circonferenza unitaria
Ciao! 
sto provando a fare gli esercizi di fine capitolo delle dispense del professore riguardo le curve in $R^n$.
L'esercizio in questione è il seguente:
Verificare che l'arco di circonferenza unitaria con centro nell'origine degli assi, contenuto nel 1 e 4 quadrante, può esser rappresentato da ciascuna delle seguenti equazioni parametriche:
a) $x=cos\Gamma , t=sin\Gamma $ con $\Gamma in [-pi/2 , pi/2] $
b) $x=sqrt(1-t^2) , y=t $ con $ t in [-1 , 1] $
Provare che le rappresentazioni parametriche sopra scritte sono equivalenti ed hanno lo stesso orientamento. Fornire quindi una rappresentazione equivalente ad entrambe ma con orientamento opposto.
sto provando a fare gli esercizi di fine capitolo delle dispense del professore riguardo le curve in $R^n$.
L'esercizio in questione è il seguente:
Verificare che l'arco di circonferenza unitaria con centro nell'origine degli assi, contenuto nel 1 e 4 quadrante, può esser rappresentato da ciascuna delle seguenti equazioni parametriche:
a) $x=cos\Gamma , t=sin\Gamma $ con $\Gamma in [-pi/2 , pi/2] $
b) $x=sqrt(1-t^2) , y=t $ con $ t in [-1 , 1] $
Provare che le rappresentazioni parametriche sopra scritte sono equivalenti ed hanno lo stesso orientamento. Fornire quindi una rappresentazione equivalente ad entrambe ma con orientamento opposto.
Risposte
Dunque, c'è lo svolgimento fatto e posto qua l'inizio, almeno fin quando ho capito:
Osserviamo che la seconda parametrizzazione $\delta (t) = \{(x=sqrt(1-t^2)),(y=t):}$ con $t in [-1 , 1] $ è ottenuta dall'equazione cartesiana: $x^2 + y^2 = 1$ dove si è posto $ y=t$.
Se consideriamo $t=sin\Gamma $ da $\delta (t)$ essendo $cos\Gamma = sqrt(1-sin^2\Gamma) $ otteniamo la prima
$\gamma (t) = \{(x=cos\Gamma),(y=sin\Gamma):}$ con $t in [-pi/2 , pi/2] $
La funzione $t=sin\Gamma$ con $t in [-pi/2 , pi/2] $ determina una corrispondenza biunivoca tra $[-pi/2 , pi/2] $ e $[-1 , 1] $ .
Inoltre $t=sin\Gamma $ $in C^1 [-pi/2 , pi/2]$.
Notiamo che la derivata della funzione $t=sin\Gamma è positiva per ogni $r in [-pi/2 , pi/2]. Quindi le due parametrizzazioni sono equivalenti ed hanno lo stesso verso.
Ecco, ciò che ho scritto in arancione non l'ho capito. Qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie
Osserviamo che la seconda parametrizzazione $\delta (t) = \{(x=sqrt(1-t^2)),(y=t):}$ con $t in [-1 , 1] $ è ottenuta dall'equazione cartesiana: $x^2 + y^2 = 1$ dove si è posto $ y=t$.
Se consideriamo $t=sin\Gamma $ da $\delta (t)$ essendo $cos\Gamma = sqrt(1-sin^2\Gamma) $ otteniamo la prima
$\gamma (t) = \{(x=cos\Gamma),(y=sin\Gamma):}$ con $t in [-pi/2 , pi/2] $
La funzione $t=sin\Gamma$ con $t in [-pi/2 , pi/2] $ determina una corrispondenza biunivoca tra $[-pi/2 , pi/2] $ e $[-1 , 1] $ .
Inoltre $t=sin\Gamma $ $in C^1 [-pi/2 , pi/2]$.
Notiamo che la derivata della funzione $t=sin\Gamma è positiva per ogni $r in [-pi/2 , pi/2]. Quindi le due parametrizzazioni sono equivalenti ed hanno lo stesso verso.
Ecco, ciò che ho scritto in arancione non l'ho capito. Qualcuno potrebbe darmi una mano? grazie
Due domande:
1) sai cos'è un'applicazione biunivoca?
2) sai qual è la condizione di equivalenza di due rappresentazioni? (in altre parole, sai come fare a determinare un orientazione su una curva?)
1) sai cos'è un'applicazione biunivoca?
2) sai qual è la condizione di equivalenza di due rappresentazioni? (in altre parole, sai come fare a determinare un orientazione su una curva?)
"ciampax":
Due domande:
1) sai cos'è un'applicazione biunivoca?
2) sai qual è la condizione di equivalenza di due rappresentazioni? (in altre parole, sai come fare a determinare un orientazione su una curva?)
1) no. la spiegazione nelle dispense non era per niente chiara.
2) sì questo lo conosco.
1) Non sai cosa è una applicazione biunivoca? E figlio bello, come pretendi di fare ste cose se non hai idea di cosa sia una funzione? Una applicazione si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.
2) Se lo conosci, perché non mi scrivi cosa sai?
2) Se lo conosci, perché non mi scrivi cosa sai?
"ciampax":
1) Non sai cosa è una applicazione biunivoca? E figlio bello, come pretendi di fare ste cose se non hai idea di cosa sia una funzione? Una applicazione si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.
cosa vuol dire biunivoca sì, lo so. non so cosa significhi in rapporto a questo argomento specifico.
"ciampax":
2) Se lo conosci, perché non mi scrivi cosa sai?
due curve sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso sostegno.
"l0r3nzo":
[quote="ciampax"]1) Non sai cosa è una applicazione biunivoca? E figlio bello, come pretendi di fare ste cose se non hai idea di cosa sia una funzione? Una applicazione si dice biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva che suriettiva.
cosa vuol dire biunivoca sì, lo so. non so cosa significhi in rapporto a questo argomento specifico.
"ciampax":
2) Se lo conosci, perché non mi scrivi cosa sai?
due curve sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso sostegno.[/quote]
1) in questo caso biunivoca significa che il seno mette in corrispondenza biunivoca ogni punto dell'intervallo $[ - pi/2 ; + pi/2$ con l'intervallo $[-1; 1]$. tutto qua. non c'è niente di più aulico in quella frase.
2) a rigore, due curve a e b sono equivalenti se esiste una funzione p di classe C^1 (con derivata mai nulla) che va dal dominio di a al dominio b, tale che si verifica a(t) = b (p(t)). da cui... hanno lo stesso sostegno.
comunque sembra abbastanza chiara la parte in arancione. cos'è che non capisci?
Non riesco a capire come si determina una corrispondenza biunivoca. Cioè c'è un metodo o è solo un ragionamento a parole?
beh... per verificare che è suriettiva, basta controllare che l'immagine sia ESATTAMENTE quella indicata. ad esempio il modulo di x va da R a R, ma è suriettivo se l'immagine è $[0;+\infty)$.
per verificare che sia iniettiva, basta scrivere la funzione prima con una variabile t, e poi con un'altra variabile s (puoi chiamarle come vuoi) ed eguagliarle. affnchè f sia iniettiva, questa eguaglianza deve essere soddisfatta SOLO se s = t.
detto in modo più formale: f iniettiva se [tex]\forall x_1, \forall x_2; x_1 \ne x_2; f(x_1) \ne f(x_2)[/tex].
edit:
comunque che il seno sia biunivoco in $[-pi/2;pi/2]$ e "nell'immagine" $[-1;1]$ dovresti saperlo da parecchio o.O
è da queste constatazioni che si può poi iniziare a parlare di una funzione inversa del seno (cioè l'arcoseno).
per verificare che sia iniettiva, basta scrivere la funzione prima con una variabile t, e poi con un'altra variabile s (puoi chiamarle come vuoi) ed eguagliarle. affnchè f sia iniettiva, questa eguaglianza deve essere soddisfatta SOLO se s = t.
detto in modo più formale: f iniettiva se [tex]\forall x_1, \forall x_2; x_1 \ne x_2; f(x_1) \ne f(x_2)[/tex].
edit:
comunque che il seno sia biunivoco in $[-pi/2;pi/2]$ e "nell'immagine" $[-1;1]$ dovresti saperlo da parecchio o.O
è da queste constatazioni che si può poi iniziare a parlare di una funzione inversa del seno (cioè l'arcoseno).
ok, domani ci provo! ora non cel a faccio. grazie mille ziel!
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