Archimedea in R, domanda tecnica

[jinsang]

Salve,
La questione è: si può dimostrare la proprietà archimedea in R senza passare dall'assioma di continuità? Mi pare che il mio professore disse di no a lezione però non capisco dove intervenga l'assioma di continuità.
Sicuramente il mio dubbio è una sciocchezza ma se qualcuno potesse aiutarmi gliene sarei molto grato

[gugo82]

Dato che anche $QQ$ è un campo archimedeo, direi di sì.
Ad esempio, in questa dimostrazione l'unica cosa che si sfrutta, essenzialmente, è che $NN$ non è limitato superiormente (il che è indipendente dalla continuità dei reali).

Fissati $x,y>0$, dobbiamo provare che esiste $n\in NN$ tale che $nx>y$.
Se $x>= y$ la cosa è banale (prendo $n=2$), quindi prendiamo $xper assurdo, quanto asserito fosse falso, per ogni $n \in NN$ avremmo $n<=y/x$, cosicché $NN$ sarebbe limitato superiormente; ma ciò è assurdo.

Quello che di solito si fa, però, è presentare $NN$ come sottoinsieme di $RR$, definendo prima $RR$ mediante il metodo assiomatico (algebra, ordine ed esistenza dell'estremo superiore) e poi tirando fuori dagli assiomi dei reali che $NN$ non è limitato superiormente; in questo modo, sembra che la illimitatezza di $N$ dipenda dall'Assioma di Esistenza dell'Estremo Superiore... Ma non è così, in quanto tale proprietà dipende dagli Assiomi di Peano che consentono di costruire $NN$ indipendentemente da tutto il resto degli insiemi numerici.

Tuttavia, passo la palla agli amici algebristi, che di queste cose ne sanno più di me.

[jinsang]

Anch'io avrei ragionato esattamente come te, tuttavia sembra che proprio nel mostrare la non limitatezza di N si debba usare l'assioma di esistenza del sup, o almeno non mi vengono in mente dimostrazioni del fatto che sup$\mathbb{N} =+oo$ che non usino l'assioma di esistenza del sup. So che sembra scontato a dirsi, ma costruendo un campo con assiomi di algebra e ordinamento tralasciando l'assioma di continuità (o esistenza sup. che dir si voglia) non è scontato che valga l'archimedea. Cioè essa può valere, ma può anche non valere. Anzi mi scuso perché proprio adesso googlando ho trovato questo thread sul forum che è più o meno equivalente al mio per cui ho aperto un argomento che già esisteva
viewtopic.php?t=124890
Grazie comunque per la risposta gugo82, molto gentile

Edit: ho inserito il link alla discussione cui ho accennato