Approssimazione numerica con Taylor
Buongiorno, non ho bene capito come si fa ad approssimare un numero utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Per esempio, potreste aiutarmi a calcolare il valore di $sqrt(128)$ spiegando i passaggi?
Mi sembra di aver capito che bisogna scegliere una funzione che assuma questo valore per un certo valore $X_(0)$ e poi svilupparla con Taylor ma non ho capito con quali criteri scegliere la funzione corretta? Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio e spiegarmi in maniera generale che criteri adottare per scegliere la funzione giusta (che è la parte in cui mi perdo)?
Grazie mille!
Per esempio, potreste aiutarmi a calcolare il valore di $sqrt(128)$ spiegando i passaggi?
Mi sembra di aver capito che bisogna scegliere una funzione che assuma questo valore per un certo valore $X_(0)$ e poi svilupparla con Taylor ma non ho capito con quali criteri scegliere la funzione corretta? Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio e spiegarmi in maniera generale che criteri adottare per scegliere la funzione giusta (che è la parte in cui mi perdo)?
Grazie mille!
Risposte
"mau21":
Buongiorno, non ho bene capito come si fa ad approssimare un numero utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Per esempio, potreste aiutarmi a calcolare il valore di $sqrt(128)$ spiegando i passaggi?
E non, per esempio, usando l'espansione binomiale?
$(121+7)^{\frac{1}{2}}=$... ecc.
Ma volendolo fare con Taylor, usa comunque 121 come punto di partenza, direi.
Con 1, 2, 3, 4 termini ottengo 11, 11.3181818181818, 11.3135800150263, 11.3137131250349 se ho fatto bene i calcoli e il quadrato dell'ultimo di questi è 128.000104675588. Già con 2 termini abbiamo un quadrato di 128.101239669422 e con 3 abbiamo 127.997092756402. 2 termini mi sembrano già abbastanza, in effetti.
Con 1, 2, 3, 4 termini ottengo 11, 11.3181818181818, 11.3135800150263, 11.3137131250349 se ho fatto bene i calcoli e il quadrato dell'ultimo di questi è 128.000104675588. Già con 2 termini abbiamo un quadrato di 128.101239669422 e con 3 abbiamo 127.997092756402. 2 termini mi sembrano già abbastanza, in effetti.
Prendiamo la funzione $f$ così definita:
$f(x)=\sqrt(128)$ per ogni $x \in RR$
Prendiamo come punto "di partenza" $x_0=0$.
Sviluppando con Taylor, otteniamo:
$f(x)=f(0)+0+0+...$
Visto che $f$ è una costante, tutte le sue derivate sono nulle, quindi il polinomio di Taylor che si ottiene, avendo come punto "di partenza" $0$, e per ogni ordine che si scelga, è sempre (il polinomio costante) $p(x)=\sqrt(128)$.
Non solo, grazie alla formula con il resto di Lagrange si vede che il "resto" è sempre $0$.
Quindi si ha una stupenda approssimazione, addirittura con errore nullo!
Evidentemente la scelta migliore, come funzione, è proprio questa qui: $f(x)=\sqrt(128)$
$f(x)=\sqrt(128)$ per ogni $x \in RR$
Prendiamo come punto "di partenza" $x_0=0$.
Sviluppando con Taylor, otteniamo:
$f(x)=f(0)+0+0+...$
Visto che $f$ è una costante, tutte le sue derivate sono nulle, quindi il polinomio di Taylor che si ottiene, avendo come punto "di partenza" $0$, e per ogni ordine che si scelga, è sempre (il polinomio costante) $p(x)=\sqrt(128)$.
Non solo, grazie alla formula con il resto di Lagrange si vede che il "resto" è sempre $0$.
Quindi si ha una stupenda approssimazione, addirittura con errore nullo!
Evidentemente la scelta migliore, come funzione, è proprio questa qui: $f(x)=\sqrt(128)$
Ciao mau21,
Si tratta di un esercizio di vecchio stampo che non vedevo più da anni, dal che si deduce che molto probabilmente il tuo professore ha un'età superiore alla mia...
Il suggerimento buono è quello che ti ha già dato ghira, ma lo porto leggermente più avanti:
$\sqrt{128} = \sqrt{121 + 7} = \sqrt{121(1 + 7/121)} = 11\sqrt{1 + 7/121} = 11(1 + 7/121)^{1/2}$
A questo punto per l'ultimo termine fra parentesi tonde puoi usare lo sviluppo in serie binomiale
$(1 + x)^{\alpha} = \sum_{n = 0}^{+\infty} ((\alpha),(n)) x^n $
con $x = 7/121 < 1 $ e $\alpha = 1/2 $
Per ottenere errori ragionevolmente piccoli tipicamente bastano e avanzano i primi tre termini, a meno che non venga specificato nel testo dell'esercizio quale errore si vuole.
Si tratta di un esercizio di vecchio stampo che non vedevo più da anni, dal che si deduce che molto probabilmente il tuo professore ha un'età superiore alla mia...
Il suggerimento buono è quello che ti ha già dato ghira, ma lo porto leggermente più avanti:
$\sqrt{128} = \sqrt{121 + 7} = \sqrt{121(1 + 7/121)} = 11\sqrt{1 + 7/121} = 11(1 + 7/121)^{1/2}$
A questo punto per l'ultimo termine fra parentesi tonde puoi usare lo sviluppo in serie binomiale
$(1 + x)^{\alpha} = \sum_{n = 0}^{+\infty} ((\alpha),(n)) x^n $
con $x = 7/121 < 1 $ e $\alpha = 1/2 $
Per ottenere errori ragionevolmente piccoli tipicamente bastano e avanzano i primi tre termini, a meno che non venga specificato nel testo dell'esercizio quale errore si vuole.
ghira sperava che "128=121+7" fosse abbastanza come aiutino ma magari no.
mau21: "128=121+7" è utile? E cosa intendi con "scegliere la funzione corretta"? La funzione è $\sqrt(x)$, no?
mau21: "128=121+7" è utile? E cosa intendi con "scegliere la funzione corretta"? La funzione è $\sqrt(x)$, no?
"mau21":
Mi sembra di aver capito che bisogna scegliere una funzione che assuma questo valore per un certo valore $X_(0)$
Qui mi sa che non capisco cosa stai cercando di dire. Secondo me non scegli "la funzione", e non... "assume questo valore" per "un certo valore $X_0$" quindi no e no ma magari non capisco.
Va bene, credo di aver capito, effettivamente non avevo pensato allo sviluppo in serie binomiale.
Grazie mille e buona serata!
Grazie mille e buona serata!
Se ti chiedono di usare Taylor forse è meglio farlo.
Ma 128 è sempre 121+7.
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor ti dice esattamente cosa fare, no?
Ma 128 è sempre 121+7.
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor ti dice esattamente cosa fare, no?
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