Approssimazione lineare funzione implicita

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Ho difficoltà a comprendere una cosa nel seguente problema:
Sia \( \Gamma: \sqrt{x^2y^2+x-1}+y\cdot \frac{\sin(\pi x)}{\pi}+\frac{y^2}{x}-2=0 \) una curva nel piano.

consideriamo \( P \in \Gamma \) tale che \( P(0,9;y_p) \) e \( y_p<0 \).
Determinare l'approssimazione lineare di \( y_p \) in \( x_0 = 1 \)

La prima cosa che ho fatto è stata valutare la funzione in \( x_0 =1 \) e ottengo:
\( \sqrt{y^2}+y^2-2=0 \)
\( \Leftrightarrow \mid y \mid +y^2-2=0 \)
\( \Leftrightarrow y^2 - y -2=0 \)
Escludo \( y_0=2 \) perché mi dice che \( y_p<0 \)
\( \Rightarrow y_0=-1 \)
Ora l'approssimazione lineare è
\( AL = f(x_0) + f'(x_0) \Delta x \)
Quindi devo fare la derivata implicita di \( f(x) \) e poi valutarla in \( x_0 = 1 \) e poi sostituire il tutto e in questo modo trovo l'approssimazione lineare. Credo che sto sbagliando la derivazione implicita di \( f(x) \) mi esce:
\( \frac{2x^2yy' + 2xy^2 + 1}{2\sqrt{x^2y^2 +x-1}}+ \frac{\sin (\pi x)}{\pi} y' + \frac{\cos (\pi x)}{\pi}y+ \frac{2yy'}{x}+\frac{y^2}{x^2}=0 \)


Grazie mille.

[seb1]

Non ho letto bene, ma derivata di \(\frac{\sin{(\pi x)}}{\pi}\) è \(\cos{(\pi x)}\) e derivata di \(\frac{1}{x}\) è \(-\frac{1}{x^2}\).