Approssimazione $f\in L_2$ con $f_n\in L_2$ semplice
Ciao, amici! Sia definito integrale di Lebesgue di una funzione misurabile $f:X\to\mathbb{C}$, o $f:X\to\mathbb{R}$, con \(\mu(X)<\infty\), come il limite\[\int_X fd\mu:=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^\infty y_{n,k}\mu(A_{n,k})\]dove \(\{f_n\}\) è una successione di funzioni semplici, che cioè assumono una quantità numerabile di valori $y_{n,k}$, $k=1,2,...$, uniformemente convergenti a $f$, e \(\{y_{n,k}\}=f_n(A_{n,k})\) dove \(\forall i\ne j\quad A_{n,i}\cap A_{n,j}=\emptyset\).
Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin che (p. 380 qui) che ogni funzione di \(L_2(X,\mu)\) si può approssimare si vuole mediante funzioni nulle all'esterno di un insieme di misura finita e questo mi sembra chiaro addirittura per ogni $p\geq 1$ rappresentando l'integrale di Lebesgue come somma degli integrali sui domini di misura finita la cui unione disgiunta è $X$:\[\int_X|f|^pd\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_{X_n}|f|^pd\mu\]dove il resto della serie tenderà a zero in ragione della convergenza della serie, per cui basta definire $f$ nulla su $X_m$ da un certo $m$ in poi.
Il testo prosegue, senza dimostrarlo, dicendo che dalla totalità di queste funzioni si può ricavare un insieme numerabile ovunque denso. La traduzione inglese Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (ed. Graylock 1963, vol. 2, p. 85) dimostra quest'assunto usando il fatto che $f$ può essere approssimata a piacere nella metrica \(\|\cdot\|_2\) da una funzione semplice appartenente a $L_2$ che assume una quantità numerabile di valori.
Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi come si vede ciò? Si tratta di un risultato fondamentale per la dimostrazione che $L_2$ è separabile se $\mu$ ha base numerabile e della densità di \(C_2[a,b]\) in \(L_2[a,b]\), prodotta nell'edizione di lingua inglese in maniera identica a come vengono dimostrate in quella italiana (pp. 372-373) la separabilità di $L_1(X,\mu)$ se $\mu$ ha base numerabile e la densità di dell'insieme delle funzioni continue $[a,b]\to\mathbb{R}$ in \(L_1[a,b]\).
Grazie di cuore a tutti!
Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin che (p. 380 qui) che ogni funzione di \(L_2(X,\mu)\) si può approssimare si vuole mediante funzioni nulle all'esterno di un insieme di misura finita e questo mi sembra chiaro addirittura per ogni $p\geq 1$ rappresentando l'integrale di Lebesgue come somma degli integrali sui domini di misura finita la cui unione disgiunta è $X$:\[\int_X|f|^pd\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_{X_n}|f|^pd\mu\]dove il resto della serie tenderà a zero in ragione della convergenza della serie, per cui basta definire $f$ nulla su $X_m$ da un certo $m$ in poi.
Il testo prosegue, senza dimostrarlo, dicendo che dalla totalità di queste funzioni si può ricavare un insieme numerabile ovunque denso. La traduzione inglese Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (ed. Graylock 1963, vol. 2, p. 85) dimostra quest'assunto usando il fatto che $f$ può essere approssimata a piacere nella metrica \(\|\cdot\|_2\) da una funzione semplice appartenente a $L_2$ che assume una quantità numerabile di valori.
Qualcuno sarebbe così buono da spiegarmi come si vede ciò? Si tratta di un risultato fondamentale per la dimostrazione che $L_2$ è separabile se $\mu$ ha base numerabile e della densità di \(C_2[a,b]\) in \(L_2[a,b]\), prodotta nell'edizione di lingua inglese in maniera identica a come vengono dimostrate in quella italiana (pp. 372-373) la separabilità di $L_1(X,\mu)$ se $\mu$ ha base numerabile e la densità di dell'insieme delle funzioni continue $[a,b]\to\mathbb{R}$ in \(L_1[a,b]\).
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Oh mamma quanta roba! E chi se la legge tutta questa domanda?
Bastava chiedere: "è vero che lo spazio delle funzioni semplici è denso in \(L^2\)?" e la risposta è "si, è un fatto standard di teoria della misura, lo stesso processo che porta ad approssimare una funzione positiva con una successione di funzioni semplici può approssimare una funzione di \(L^p\) con una successione di funzioni semplici". Chiaramente nel secondo caso la convergenza è nel senso di \(L^p\).
Fine.
Bastava chiedere: "è vero che lo spazio delle funzioni semplici è denso in \(L^2\)?" e la risposta è "si, è un fatto standard di teoria della misura, lo stesso processo che porta ad approssimare una funzione positiva con una successione di funzioni semplici può approssimare una funzione di \(L^p\) con una successione di funzioni semplici". Chiaramente nel secondo caso la convergenza è nel senso di \(L^p\).
Fine.
Grazie per la risposta e la tua ...smisurata disponibilità! Per definizione di integrale di Lebesgue direi che, nel caso $p=1$, sono proprio le funzioni semplici delle successioni \(\{f_n\}\) che definiscono l'integrale, che devono essere integrabili e convergere uniformemente ad $f$, che approssimano $f$ a piacere.
Nel caso di $p>1$, invece, mi è oscuro come si possa trovare una funzione semplice in $L^p$, e non solo in $L^1$, che approssimi $f$ (secondo la metrica definita di $L^p$)...
Nel caso di $p>1$, invece, mi è oscuro come si possa trovare una funzione semplice in $L^p$, e non solo in $L^1$, che approssimi $f$ (secondo la metrica definita di $L^p$)...
MA io non capisco. Una funzione semplice è una roba così:
\[
a_1\chi_{A_1}+ a_2\chi_{A_2}+\dots+a_k\chi_{A_k}.\]
Assume cioè solo un numero finito di valori. Se gli insiemi \(A_j\) hanno misura finita, è chiaro che essa starà in tutti gli spazi \(L^p\) che vogliamo, no? Se la sai trovare in \(L^1\) la sai trovare anche in \(L^p\).
A volte ti poni dei problemi complicati e avanzatissimi, e li risolvi. Altre invece ti blocchi su certe cavolate che non hai idea. Cerca di ragionare in modo un po' più sportivo: ti stai paralizzando nel ragionamento formale.
\[
a_1\chi_{A_1}+ a_2\chi_{A_2}+\dots+a_k\chi_{A_k}.\]
Assume cioè solo un numero finito di valori. Se gli insiemi \(A_j\) hanno misura finita, è chiaro che essa starà in tutti gli spazi \(L^p\) che vogliamo, no? Se la sai trovare in \(L^1\) la sai trovare anche in \(L^p\).
A volte ti poni dei problemi complicati e avanzatissimi, e li risolvi. Altre invece ti blocchi su certe cavolate che non hai idea. Cerca di ragionare in modo un po' più sportivo: ti stai paralizzando nel ragionamento formale.
"dissonance":
Una funzione semplice è una roba così: \[
a_1\chi_{A_1}+ a_2\chi_{A_2}+\dots+a_k\chi_{A_k}.\]
Il Kolmogorov-Fomin definisce l'integrale di Lebesgue utilizzando funzioni semplici \(f_n=\sum_{k=1}^\infty a_k\chi_{A_k}\) che assumono una quantità numerabile di valori. In tale definizione, come suppongo qui, si possono sostituire tali funzioni che assumono "$\aleph_0$ valori" con funzioni che assumano $k$ valori, vero? Tuttavia, non mi è chiaro come la definizione rimanga equivalente limitanto ad un insieme finito i valori assumibili da $f_n$...
Grazie di cuore ancora!
P.S.: Finalmente sono riuscito a completare il messaggio senza che saltasse la corrente. Adesso vado a costruirmi un'arca e a cercare una gatta da portare con il mio gatto...
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