Approssimazione di una funzione

[Gengy996]

Ragazzi mi spiegate cosa significa quella frase e in particolare quella scrittura in grassetto:
\(\displaystyle f(x) \cong f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \) significa che, non solo la differenza tra primo e secondo membro tende a zero quando x-->\(\displaystyle x_0 \), ma anche che tende a zero più rapidamente della quantità \(\displaystyle x-x_0 \).

[Seneca1]

Formalmente, avendo ad esempio $f : A \subseteq \RR^n \to \RR$, si intende che
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - [f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) ]}{\|x - x_0\|} = 0 .\]

[Gengy996]

Formalmente lo so, però "nella pratica" cosa significa quel più rapidamente (o anche cosa significa essere un infinitesimo di ordine superiore)?
Grazie comunque per la risposta

[Weierstress]

Intuitivamente funziona allo stesso modo degli ordini di infinito, ma al contrario. Se ad esempio per per $xrarr∞$ $e^x$ va all'infinito molto più velocemente di $x$, $e^(-x)$ va allo zero molto più velocemente di quanto non lo faccia $1/x$, dunque è un infinitesimo ordine maggiore e in alcuni casi "trascurabile".

Prova a giocare con Desmos, disegna queste funzioni e ti rendi subito conto di quello che sta succedendo...

In soldoni, tutto si riconduce al discorso sulle stime asintotiche: vedi qui https://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica per una trattazione più formale.