Approssimazione di un numero
Ciao a tutti 
Devo calcolare $\root{5}{e}$ con 2 cifre decimali esatte, ma non so se sto facendo giusto.
Prendo $g(x)=e^x$. In questo modo $\root{5}{e}=g(\frac{1}{5})$ con $x_0=0$.
Considerando il resto di Lagrange $R_n(x)=\frac{g^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$ ho che
$|g(\frac{1}{5})-P_n(\frac{1}{5})| = |\frac{e^x}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{5^{n+1}}|$
Allora
$|g(\frac{1}{5})-P_n(\frac{1}{5})| \le \frac{e^{\frac{1}{5}}}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{5^{n+1}} < \frac{3}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}<10^{-3}$, che è vero se $n \ge 3$
In questo modo
$P_n(\frac{1}{5})=P_3(\frac{1}{5})=\sum_{k=0}^3 \frac{g^k(0)}{k!}(\frac{1}{5})^k=\sum_{k=0}^3\frac{1}{k!}\frac{1}{5^k}= 1+\frac{1}{5}+\frac{1}{2 \cdot 5^2}+\frac{1}{6 \cdot 5^3} \approx 1,221$ con $n=3$ cifre decimali esatte.
Perciò
$P_3(\frac{1}{5}) - 10^{-3}<\root{5}{e}
$\Rightarrow 1,220<\root{5}{e}<1,223$
$\Rightarrow \root{5}{e} \approx 1,22$ con due cifre decimali esatte.
Potreste verificare se è corretto?
Devo calcolare $\root{5}{e}$ con 2 cifre decimali esatte, ma non so se sto facendo giusto.
Prendo $g(x)=e^x$. In questo modo $\root{5}{e}=g(\frac{1}{5})$ con $x_0=0$.
Considerando il resto di Lagrange $R_n(x)=\frac{g^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$ ho che
$|g(\frac{1}{5})-P_n(\frac{1}{5})| = |\frac{e^x}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{5^{n+1}}|$
Allora
$|g(\frac{1}{5})-P_n(\frac{1}{5})| \le \frac{e^{\frac{1}{5}}}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{5^{n+1}} < \frac{3}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}<10^{-3}$, che è vero se $n \ge 3$
In questo modo
$P_n(\frac{1}{5})=P_3(\frac{1}{5})=\sum_{k=0}^3 \frac{g^k(0)}{k!}(\frac{1}{5})^k=\sum_{k=0}^3\frac{1}{k!}\frac{1}{5^k}= 1+\frac{1}{5}+\frac{1}{2 \cdot 5^2}+\frac{1}{6 \cdot 5^3} \approx 1,221$ con $n=3$ cifre decimali esatte.
Perciò
$P_3(\frac{1}{5}) - 10^{-3}<\root{5}{e}
$\Rightarrow 1,220<\root{5}{e}<1,223$
$\Rightarrow \root{5}{e} \approx 1,22$ con due cifre decimali esatte.
Potreste verificare se è corretto?
Risposte
Ohhh...ma che è tutta questa "approssimatività" stamattina 
???
Va beh,dai:
approssimativamente direi che non sei stato per nulla "approssimativo",in nessuna delle tue approssimazioni
..
Saluti dal web.
Edit:
tra le tue "armi" hai a disposizione lo sviluppo in serie di Maclaurin di $e^x$?
???Va beh,dai:
approssimativamente direi che non sei stato per nulla "approssimativo",in nessuna delle tue approssimazioni
..Saluti dal web.
Edit:
tra le tue "armi" hai a disposizione lo sviluppo in serie di Maclaurin di $e^x$?
Grazie per aver controllato theras
Non capisco la domanda... mi stai chiedendo se conosco lo sviluppo di MacLaurin per $e^x$?
tra le tue "armi" hai a disposizione lo sviluppo in serie di Maclaurin di $e^x$?
Non capisco la domanda... mi stai chiedendo se conosco lo sviluppo di MacLaurin per $e^x$?
No,mi chiedevo più che altro come,ed in che ordine cronolpgico,
vi son stati introdotti i polinomi di Taylor,gli sviluppi in serie e le disuguaglianze relative alla "velocità di convergenza" dei resti n-esimi:
solo per confronto tra scuole di pensiero,del tutto equivalenti,sui metodi per introdurre tali argomenti,tranquillo.
Saluti dal web.
vi son stati introdotti i polinomi di Taylor,gli sviluppi in serie e le disuguaglianze relative alla "velocità di convergenza" dei resti n-esimi:
solo per confronto tra scuole di pensiero,del tutto equivalenti,sui metodi per introdurre tali argomenti,tranquillo.
Saluti dal web.
Ah ok perché mi sembrava strana come domanda 
Diciamo che il prof ce l'ha piazzata lì senza tanti complimenti subito dopo la definizione di derivata (forse dopo 1-2 settimane dall'inizio del corso). Devo dire che l'impatto poteva essere migliore (sul momento non capivo niente di quello che mi metteva davanti).
Il problema vero e proprio è che le approssimazioni, viste come primissima cosa nel corso e poi non più riprese... non voglio dire che le abbia spiegate male, ma di certo io e molti altri insieme a me abbiamo fatto fatica a capire come vanno svolte (ecco anche perché chiedo un riscontro: non so se le svolgo nella maniera corretta, e questo è male, perché non bisogna sparare a caso in matematica...)
perché mi sembrava strana come domanda Diciamo che il prof ce l'ha piazzata lì senza tanti complimenti subito dopo la definizione di derivata (forse dopo 1-2 settimane dall'inizio del corso). Devo dire che l'impatto poteva essere migliore (sul momento non capivo niente di quello che mi metteva davanti).
Il problema vero e proprio è che le approssimazioni, viste come primissima cosa nel corso e poi non più riprese... non voglio dire che le abbia spiegate male, ma di certo io e molti altri insieme a me abbiamo fatto fatica a capire come vanno svolte (ecco anche perché chiedo un riscontro: non so se le svolgo nella maniera corretta, e questo è male, perché non bisogna sparare a caso in matematica...)
"Brancaleone":
Ah ok
Diciamo che il prof ce l'ha piazzata lì senza tanti complimenti subito dopo la definizione di derivata (forse dopo 1-2 settimane dall'inizio del corso). Devo dire che l'impatto poteva essere migliore (sul momento non capivo niente di quello che mi metteva davanti).
Il problema vero e proprio è che le approssimazioni, viste come primissima cosa nel corso e poi non più riprese... non voglio dire che le abbia spiegate male, ma di certo io e molti altri insieme a me abbiamo fatto fatica a capire come vanno svolte (ecco anche perché chiedo un riscontro: non so se le svolgo nella maniera corretta, e questo è male, perché non bisogna sparare a caso in matematica...)
Questo post me lo conservo:
vediamo se si riesce a trarne spunto per un buon thread di quelli "che restano"
(tipo i primi tre di questa sezione,per intenderci),
perchè il tuo problema d'impostazione(che comunque si direbbe tu abbia saputo risolvere
)mi sembra comune,su un argomento nel quale è tradizione si riesca a far piena luce dopo lunga digestione..
Saluti dal web.
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