Approssimazione di Taylor
Ciao scusate il disturbo nuovamente ://
Ieri forse avrò postato male la mia ultima domanda , quella riguardante l'approssimazione a Taylor di una funzione del tipo:
$V_c (w) = V_0/(sqrt(1+x^2))$
dove posto:
$x= w/w_0$
e con $V_0$ e $w_0$ costanti.
la sua derivata prima è:
$-(1/2)*((V_0)*(1+x^2)^(-3/2))*(2*x)$
e in più ponendo $w=w_0$ nella derivata avrò che:
$Vc'(w=w_0)= -(V_0)/sqrt(8)$
$Vc (w) = Vc (w_0) + Vc' (w=w_0) *(w-w_0)$
$Vc (w) = Vc (w_0) - ((V_0)/sqrt(8))*(w-w_0)$
e infine:
$Vc (w) = (V_0)/sqrt(2) + ((V_0)/sqrt(8))*(w_0) - ((V_0)/sqrt(8))*(w)$
ditemi se questo ragionamento è giusto :///
P.S
se volete potete togliere e cancellare il mio ultimo messaggio in questa sezione, per non creare ulteriori problemi!
Ieri forse avrò postato male la mia ultima domanda , quella riguardante l'approssimazione a Taylor di una funzione del tipo:
$V_c (w) = V_0/(sqrt(1+x^2))$
dove posto:
$x= w/w_0$
e con $V_0$ e $w_0$ costanti.
la sua derivata prima è:
$-(1/2)*((V_0)*(1+x^2)^(-3/2))*(2*x)$
e in più ponendo $w=w_0$ nella derivata avrò che:
$Vc'(w=w_0)= -(V_0)/sqrt(8)$
$Vc (w) = Vc (w_0) + Vc' (w=w_0) *(w-w_0)$
$Vc (w) = Vc (w_0) - ((V_0)/sqrt(8))*(w-w_0)$
e infine:
$Vc (w) = (V_0)/sqrt(2) + ((V_0)/sqrt(8))*(w_0) - ((V_0)/sqrt(8))*(w)$
ditemi se questo ragionamento è giusto :///
P.S
se volete potete togliere e cancellare il mio ultimo messaggio in questa sezione, per non creare ulteriori problemi!
Risposte
Sì, dovrebbe essere giusto.
Hai approssimato linearmente la funzione $Vc(w)$ in un intorno di $w_0$.
Hai approssimato linearmente la funzione $Vc(w)$ in un intorno di $w_0$.
Non sono sicuro che il procedimento sia corretto. Io credo che tu abbia dimenticato da qualche parte qualche costante, insomma hai applicato male la regola di derivazione per funzioni composte. Inoltre non credo sia necessaria la posizione [tex]x=\frac{w}{w_0}[/tex], ai fini del calcolo non porta nessuna miglioria (tutto questo IMO).
Disclaimer: Non ho fatto i conti, sono andato ad occhio, quindi le mie considerazioni possono essere errate
Disclaimer: Non ho fatto i conti, sono andato ad occhio, quindi le mie considerazioni possono essere errate
"Mathematico":
Non sono sicuro che il procedimento sia corretto. Io credo che tu abbia dimenticato da qualche parte qualche costante, insomma hai applicato male la regola di derivazione per funzioni composte. Inoltre non credo sia necessaria la posizione [tex]x=\frac{w}{w_0}[/tex], ai fini del calcolo non porta nessuna miglioria (tutto questo IMO).
Disclaimer: Non ho fatto i conti, sono andato ad occhio, quindi le mie considerazioni possono essere errate
Forse ho capito il problema, mi sono anche confrontato con qualche collega, e mi sa che ho sbagliato io a fare qualche conto.
ora ho un altro dubbio, ma credo che sia risolvibile con una derivata. Ho da fare lo sviluppo in serie di Taylor di:
$\phi(\omega)= arctg(\omega/(\omega_0)) - \pi/2$
sviluppandolo in un intorno di $w=w_0$
la derivata dell' $arctgx$ è: $1/(1+x^2)$ quindi la derivata per quella funzione è:
$= (1/(w_0))/(1+(w/w_0)^2)$
poi arrivato alla derivata devo porre $w=w_0$
diventa cosi:
$(\omega_0)/((\omega_0)^2+(\omega)^2)$ ponendo $w=w_0$ diviene:
$1/(2(\omega_0))$
per lo sviluppo in serie verrà:
$\phi=( \pi)/4 + 1/(2(\omega_0)))*(\omega - \omega_0)$
infine:
$\phi=( \pi)/4 + ((\omega)/(2(\omega_0)) - frac{1}{2}$
che ne dite?
La penultima cosa che hai scritto era quella giusta. L'ultimo passaggio ti fa perdere di vista il fatto che stai sviluppando in un intorno di [tex]$w_0$[/tex]
"ciampax":
La penultima cosa che hai scritto era quella giusta. L'ultimo passaggio ti fa perdere di vista il fatto che stai sviluppando in un intorno di [tex]$w_0$[/tex]
ciao ciampax, grazie per la risposta
in effetti mi serve per vedere meglio dei parametri che mi servono per fare un confronto con i dati da analizzare statisticamente, la parte senza nessun parametro la chiamo intercetta, mentre quella con il parametro pendenza e da li mi trovo $w_0$
inoltre <.< ho fatto un ulteriore errore e non l'hai notato lol
è $- (\pi)/4$ all'inizio perchè devo mettere semplicemente $w0$ nella funzione
è $- (\pi)/4$ all'inizio perchè devo mettere semplicemente $w0$ nella funzione
Clever, sinceramente non capisco perchè passi da [tex]$\omega[/tex] a [tex]$w[/tex] con così tanta leggerezza. Sono due lettere diverse e possono avere significati diversi per noi comuni mortali. Insomma, sono molto confuso dai tuoi post 
Ah scusa forse perchè tentavo di scrivere 'meglio' con il latex!
comunque è sempre $w$ e la funzione da approssimare in serie di taylor è:
$phi(w) = arctg (w/w_0) - pi/2$ nell'intorno di $w=w_0$
vedi se ti torna!
comunque è sempre $w$ e la funzione da approssimare in serie di taylor è:
$phi(w) = arctg (w/w_0) - pi/2$ nell'intorno di $w=w_0$
vedi se ti torna!
A me torna
[tex]\varphi(w)= -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2 w_0} (w-w_0)+ o((w-w_0))[/tex]
[tex]\varphi(w)= -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2 w_0} (w-w_0)+ o((w-w_0))[/tex]
si allora mi trovo anche io, altra domanda:
posso approssimare
$tau(x)=arctg((x0)/(x))$ a $tau(x)=(x0)/(x)$?
perchè anche questa è una retta in funzione di x
per fare dei conti ho fatto anche:
$tan tau(x) = (x0)/(x)$ e quindi va meglio scritta come $(1/tan tau(x)) = (x)/(x0)$
che ne dite?
posso approssimare
$tau(x)=arctg((x0)/(x))$ a $tau(x)=(x0)/(x)$?
perchè anche questa è una retta in funzione di x
per fare dei conti ho fatto anche:
$tan tau(x) = (x0)/(x)$ e quindi va meglio scritta come $(1/tan tau(x)) = (x)/(x0)$
che ne dite?
Non ti seguo... Devi approssimare quella arcotangente con [tex]\frac{x_0}{x}[/tex] ma dove? Lo potresti fare se [tex]|x_0|<<|x|[/tex] di modo che il loro rapporto sia prossimo a [tex]0[/tex].
approssimare quella funzione $tau(x)$ in $x=x_0$
ho sbagliato a pigiare il copia e incolla <.< scusa.
ho sbagliato a pigiare il copia e incolla <.< scusa.
Beh allora quella approssimazione non va bene, utilizza sempre Taylor centrato in $x_0$. Fai un po' di conti 
.
.
vengono passaggi 'strani' allora te li scrivo:
derivata di $arctg((x0)/(x))$
$(-(x0)/(x^2))/(1+((x0)/x)^2)$
poi ci metto $x=x0$
e diventa:
$-1/(2*x0)$
il tutto diventa:
$tau(x)=pi/4 + 1/2 -x/(2*x0)$
ti trovi con me?
derivata di $arctg((x0)/(x))$
$(-(x0)/(x^2))/(1+((x0)/x)^2)$
poi ci metto $x=x0$
e diventa:
$-1/(2*x0)$
il tutto diventa:
$tau(x)=pi/4 + 1/2 -x/(2*x0)$
ti trovi con me?
Sì è corretto
Ho bisogna di una vostra piccola consulenza su un altra approssimazione di taylor negli intorni del paramentro $\omega_0$:
$A_r = 1/sqrt(1+((\omega_0)/(\omega))^2)$
in $\omega=\omega_0$ la funzione vale:
$A_r = 1/sqrt(2)$
derivata della funzione:
$d/d(\omega) = (1+ ((\omega_0)/(\omega))^2)^(-1/2) = - 1/2 * (1+ ((\omega_0)/(\omega))^2)^(-3/2) * ((\omega_0)^2 * (-2 \omega^3))$
da varie semplificazioni viene:
$=2*(\omega_0)^-1$
infine:
$Ar = 1/sqrt(2) + (2/(\omega_0))*(\omega - \omega_0)$
$A_r = 1/sqrt(1+((\omega_0)/(\omega))^2)$
in $\omega=\omega_0$ la funzione vale:
$A_r = 1/sqrt(2)$
derivata della funzione:
$d/d(\omega) = (1+ ((\omega_0)/(\omega))^2)^(-1/2) = - 1/2 * (1+ ((\omega_0)/(\omega))^2)^(-3/2) * ((\omega_0)^2 * (-2 \omega^3))$
da varie semplificazioni viene:
$=2*(\omega_0)^-1$
infine:
$Ar = 1/sqrt(2) + (2/(\omega_0))*(\omega - \omega_0)$
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