Approssimazione di stirling
$n! =\int_{0}^{\infty}x^n e^(-x)dx=\int_{0}^{\infty}e^{nlog(x)-x}dx$
infatti basta calcolare la trasformata di laplace di $x^n$ in $1$
Facendo la sostituzione $x=\delta+n$ mettendo in evidenza nel logaritmo n e sviluppandolo in serie di taylor:
$n! =\int_{-n}^{+infty} e^{n(log(\delta +n))-x}dx=\int_{-n}^{\infty}e^{n(log(n)+\delta/n-\delta^2/{2n^2}+R_2((\delta/n)))-\delta-n}d\delta=n^n e^{-n}\int_{-n}^{infty} e^{-\delta^2/{2n}+nR_2(\delta/n)}d\delta$
Quindi con l'ulteriore sostituzione $\delta=\sqrt{2n}t$:
${n!}/{n^n e^-n \sqrt{2n}}=\int_{-\sqrt{n/2}}^{\infty} e^{-t^2+nR_2(tsqrt{2/n})}dt$
infatti basta calcolare la trasformata di laplace di $x^n$ in $1$
Facendo la sostituzione $x=\delta+n$ mettendo in evidenza nel logaritmo n e sviluppandolo in serie di taylor:
$n! =\int_{-n}^{+infty} e^{n(log(\delta +n))-x}dx=\int_{-n}^{\infty}e^{n(log(n)+\delta/n-\delta^2/{2n^2}+R_2((\delta/n)))-\delta-n}d\delta=n^n e^{-n}\int_{-n}^{infty} e^{-\delta^2/{2n}+nR_2(\delta/n)}d\delta$
Quindi con l'ulteriore sostituzione $\delta=\sqrt{2n}t$:
${n!}/{n^n e^-n \sqrt{2n}}=\int_{-\sqrt{n/2}}^{\infty} e^{-t^2+nR_2(tsqrt{2/n})}dt$
Risposte
Dopo svariati tentativi mi sembra di aver trovato una risposta (che è poi relativamente semplice).
Il problema in sostanza consiste nel dimostrare che:
$\int_{-\sqrt{n/2}}^{+\infty} e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t}dt\to\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$
Avendo già notato che $e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t} \to e^{-t^2}$ per $t$ fissato, la questione si riduce
alla possibilità di fare il limite sotto il segno di integrale e quindi (volendo applicare Lebesgue) di trovare una
funzione integrabile fissa che maggiori l'integrando. Dopo aver tentato invano di sfruttare la formula di Taylor
con resto di Lagrange mi sono deciso a studiare la funzione che sta a esponente:
$g_n(t):=n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t}$ (di modo che l'integrando è $f_n(t)=e^{g_n(t)}$ ).
Si vede facilmente che
$\lim_{t\to-\sqrt{n/2}}g_n(t)=-\infty$, $\lim_{t\to+\infty}g_n(t)=-\infty$
$g_n'(t)={-2t}/{1+\sqrt{2/n}t}$ e $g_n(0)=0$.
In particolare, esaminando l'espressione di $g_n'$ si vede che $g_n'(t)$ è DECRESCENTE IN $n$ per ogni $t$ fissato.
Se ne deduce allora che $g_n(t)=\int_0^tg_n'(s) ds$ é decresente per $t\geq0$ ed è crescente per $t\leq0$ (conviene pensare
che $g_n(t)=-\infty$ per $t\leq-\sqrt{n/2}$. Dunque
$0\leq f_n(t)\leq e^{-t^2}$ per $t\leq 0$ mentre
$0\leq f_n(t)\leq f_1(t)$ per $t\geq0$.
Queste disuguaglianze per mettono di fare il passaggio al limite.
Vedete se non ho sbagliato qualcosa.
Il problema in sostanza consiste nel dimostrare che:
$\int_{-\sqrt{n/2}}^{+\infty} e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t}dt\to\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$
Avendo già notato che $e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t} \to e^{-t^2}$ per $t$ fissato, la questione si riduce
alla possibilità di fare il limite sotto il segno di integrale e quindi (volendo applicare Lebesgue) di trovare una
funzione integrabile fissa che maggiori l'integrando. Dopo aver tentato invano di sfruttare la formula di Taylor
con resto di Lagrange mi sono deciso a studiare la funzione che sta a esponente:
$g_n(t):=n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t}$ (di modo che l'integrando è $f_n(t)=e^{g_n(t)}$ ).
Si vede facilmente che
$\lim_{t\to-\sqrt{n/2}}g_n(t)=-\infty$, $\lim_{t\to+\infty}g_n(t)=-\infty$
$g_n'(t)={-2t}/{1+\sqrt{2/n}t}$ e $g_n(0)=0$.
In particolare, esaminando l'espressione di $g_n'$ si vede che $g_n'(t)$ è DECRESCENTE IN $n$ per ogni $t$ fissato.
Se ne deduce allora che $g_n(t)=\int_0^tg_n'(s) ds$ é decresente per $t\geq0$ ed è crescente per $t\leq0$ (conviene pensare
che $g_n(t)=-\infty$ per $t\leq-\sqrt{n/2}$. Dunque
$0\leq f_n(t)\leq e^{-t^2}$ per $t\leq 0$ mentre
$0\leq f_n(t)\leq f_1(t)$ per $t\geq0$.
Queste disuguaglianze per mettono di fare il passaggio al limite.
Vedete se non ho sbagliato qualcosa.
E' possibile dimostrare che la funzione integranda converga uniformemente a $e^{-t^2}$?
Può darsi. ma non servirebbe a far convergere gli integrali dato che l'insieme di integrazione ha
misura infinita.
misura infinita.
"ViciousGoblinEnters":
Il problema in sostanza consiste nel dimostrare che:
$\int_{-\sqrt{n/2}}^{+\infty} e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t}dt\to\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$
Avendo già notato che $e^{n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t} \to e^{-t^2}$ per $t$ fissato, la questione si riduce
alla possibilità di fare il limite sotto il segno di integrale e quindi (volendo applicare Lebesgue) di trovare una
funzione integrabile fissa che maggiori l'integrando.
Ma il t. di Lebesgue vale anche quando $n$ si presenta pure in un estremo di integrazione?
Ma il t. di Lebesgue vale anche quando n si presenta pure in un estremo di integrazione?
In questo caso si passa a tutto $RR$ definendo la funzione integranda $0$ - se notate avevo scritto
conviene pensare che $g_n(t)=-∞$ per $t≤-\sqrt{n/2}$
che implica $f_n(t)=e^{g_n(t)}=0$ per $t≤-\sqrt{n/2}$
Perchè questo passaggio non modifica il limite ?
puoi spiegarmi meglio come si dimostrano le due disuguaglianze
puoi spiegarmi meglio come si dimostrano le due disuguaglianze
Cerco di spiegarmi (se non sono chiaro insistete pure ...)
Il problema è calcolare
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\sqrt{n/2}}^{+\infty}f_n(t) dt$
dove $f_n(t)=e^{g_n(t)}$ e (finalmente) $g_n(t)=n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t$. Se conveniamo che $g_n(t)=-\infty$
per $t\leq-\sqrt{n/2}$, allora per tali $t$ $f_n(t)=0$ e ciò che cerchiamo diventa
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(t) dt$.
Do per buono che per $t$ fissato in $RR$ $g_n(t)\to-x^2/2$ (era implicito nel post iniziale - nota che se $t$ è fissato
$t>-\sqrt{n/2}$ per $n$ grande). Se riesco a trovare una $g$ tale che $g_n(t)\leq g(t)$ per ogni $t$ e $e^g$ integrabile su $RR$,
allora $0\leq f_n(t)\leq e^{g(t)}$ per cui posso applicare Lebesgue ottenedo che
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(t) dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{n\to\infty}f_n(t) dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2} dt$
Per trovare questa fantomatica $g$ ho fatto uno studio di funzione delle $g_n$ ricavando che per ogni $n$ $g_n(0)=0$ e
$g_n'(t)={-2t}/{1+\sqrt{2/n}t}$.
Mi pare chiaro ora che, se $n>m$ risulta $g'_n(t)0$, mentre $g_n(t)>g_m(t)$ per ogni $t<0$. Quindi per le $t\geq 0$
trovo $g_n(t)\leq g_1(t)$, mentre per le $t\leq0$ maggioro le $g_n(t)$ con il loro limite che è $e^{-t^2}$.
Posso dunque prendere $g(t)=g_1(t)$ per $t\geq0$ e $g(t)=e^{-t^2}$ per $t\leq 0$.
Il problema è calcolare
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\sqrt{n/2}}^{+\infty}f_n(t) dt$
dove $f_n(t)=e^{g_n(t)}$ e (finalmente) $g_n(t)=n\ln(1+\sqrt{2/n}t)-\sqrt{2n}t$. Se conveniamo che $g_n(t)=-\infty$
per $t\leq-\sqrt{n/2}$, allora per tali $t$ $f_n(t)=0$ e ciò che cerchiamo diventa
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(t) dt$.
Do per buono che per $t$ fissato in $RR$ $g_n(t)\to-x^2/2$ (era implicito nel post iniziale - nota che se $t$ è fissato
$t>-\sqrt{n/2}$ per $n$ grande). Se riesco a trovare una $g$ tale che $g_n(t)\leq g(t)$ per ogni $t$ e $e^g$ integrabile su $RR$,
allora $0\leq f_n(t)\leq e^{g(t)}$ per cui posso applicare Lebesgue ottenedo che
$\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(t) dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{n\to\infty}f_n(t) dt=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2} dt$
Per trovare questa fantomatica $g$ ho fatto uno studio di funzione delle $g_n$ ricavando che per ogni $n$ $g_n(0)=0$ e
$g_n'(t)={-2t}/{1+\sqrt{2/n}t}$.
Mi pare chiaro ora che, se $n>m$ risulta $g'_n(t)
trovo $g_n(t)\leq g_1(t)$, mentre per le $t\leq0$ maggioro le $g_n(t)$ con il loro limite che è $e^{-t^2}$.
Posso dunque prendere $g(t)=g_1(t)$ per $t\geq0$ e $g(t)=e^{-t^2}$ per $t\leq 0$.
Grazie ho capito.
La dimostrazione sembra corretta e semplice e questo mi preoccupa.
La dimostrazione sembra corretta e semplice e questo mi preoccupa.
Capita spesso che alla fine ( ) le cose sembrino semplici.
Grazie per aver controllato la dimostrazione.
) le cose sembrino semplici.Grazie per aver controllato la dimostrazione.
Dato che la cosa mi ha incuriosito ho cercato in internet le dimostrazioni della formula e ho trovato
questa pagina
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... ndice1.htm
che segue la stessa strada (ma senza usare Lebesgue - direi).
questa pagina
http://progettomatematica.dm.unibo.it/C ... ndice1.htm
che segue la stessa strada (ma senza usare Lebesgue - direi).
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