Approssimazione di integrale con errore
Salve ragazzi, sto provando a risolvere questo integrale ma senza risultato .Non capisco dove sbaglio !
calcolare $\int_{0}^{pi} e^(-sin(x)) dx$ con un errore inferiore a 0.1
Per risolverlo avevo pensato per prima cosa di utilizzare lo sviluppo in serie di $e^(x)$ e successivamente quello di $-sin(x)$ minorando il tutto per trovare l'errore ma integrando lo sviluppo trovato non esce il risultato di wolfram alpha a meno dell'errore
è giusto scrivere così?
$\int_{0}^{pi} e^(-sin(x)) dx= sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{pi} (-1)^n((-x^(2n+1))/((2n+1))!)^n(1/(n)!)dx$
(il fattoriale è relativo solo ai termini al denominatore)
svolgendo l'integrale per n=3 avevo errore <1/10
calcolare $\int_{0}^{pi} e^(-sin(x)) dx$ con un errore inferiore a 0.1
Per risolverlo avevo pensato per prima cosa di utilizzare lo sviluppo in serie di $e^(x)$ e successivamente quello di $-sin(x)$ minorando il tutto per trovare l'errore ma integrando lo sviluppo trovato non esce il risultato di wolfram alpha a meno dell'errore
è giusto scrivere così?
$\int_{0}^{pi} e^(-sin(x)) dx= sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{pi} (-1)^n((-x^(2n+1))/((2n+1))!)^n(1/(n)!)dx$
(il fattoriale è relativo solo ai termini al denominatore)
svolgendo l'integrale per n=3 avevo errore <1/10
Risposte
Vedo lo sviluppo del seno, ma che fine ha fatto l'esponenziale ?
L'errore come lo calcoli ?
L'errore come lo calcoli ?
Prima ho sviluppato ľ esponenziale con argomento seno
$sum_{0}^{infty} (sinx)^n/(n!) $ poi ho sostituito lo sviluppo del seno .ľ errore ľ ho calcolato tramite il resto ennesimo della funzione .praticamente ho risolto ľ integrale tra $0 e pi $ e ho visto per quale valore di n il suo valore assoluto era minore di 0.1(tralasciando la sommatoria
$sum_{0}^{infty} (sinx)^n/(n!) $ poi ho sostituito lo sviluppo del seno .ľ errore ľ ho calcolato tramite il resto ennesimo della funzione .praticamente ho risolto ľ integrale tra $0 e pi $ e ho visto per quale valore di n il suo valore assoluto era minore di 0.1(tralasciando la sommatoria
Ok, avevo intuito, però così non è corretto. Per scriverlo correttamente serve una doppia sommatoria, una per il seno e una per l'esponenziale.
$\sum_(n=0)^(oo) (-[\sum_(k=0)^(oo) (-1)^k(x^(2k+1))/((2k+1)!)])^n 1/(n!)$
Ovviamente questa espressione abbastanza preoccupante va usata troncandola a livelli bassi di grado del polinomio, verificando poi il resto.
Per essere sicuri che la stima abbia un errore inferiore a 0.1 non ho ben capito che metodo vuoi usare.
Non è corretto risolvere l'esercizio guardando il valore "esatto" fornito da un calcolatore (Wolfram o chi per esso).
La stima del resto va calcolata ignorando qualche sia un valore preciso dell'integrale, altrimenti non ha senso trovare un modo per essere sicuri di commettere un errore basso, se il risultato tanto lo sappiamo già.
Poi nessuno ti vieta di dare una "sbirciata" al valore dell'integrale calolato con Wolfram, però devi ignorarlo quando risolvi l'esercizio.
Io userei la formula del resto di Lagrange, sperando che sia sufficiente fermarsi ad un grado basso di derivata.
$\sum_(n=0)^(oo) (-[\sum_(k=0)^(oo) (-1)^k(x^(2k+1))/((2k+1)!)])^n 1/(n!)$
Ovviamente questa espressione abbastanza preoccupante va usata troncandola a livelli bassi di grado del polinomio, verificando poi il resto.
Per essere sicuri che la stima abbia un errore inferiore a 0.1 non ho ben capito che metodo vuoi usare.
Non è corretto risolvere l'esercizio guardando il valore "esatto" fornito da un calcolatore (Wolfram o chi per esso).
La stima del resto va calcolata ignorando qualche sia un valore preciso dell'integrale, altrimenti non ha senso trovare un modo per essere sicuri di commettere un errore basso, se il risultato tanto lo sappiamo già.
Poi nessuno ti vieta di dare una "sbirciata" al valore dell'integrale calolato con Wolfram, però devi ignorarlo quando risolvi l'esercizio.
Io userei la formula del resto di Lagrange, sperando che sia sufficiente fermarsi ad un grado basso di derivata.
Quindi assumo $ Rn =(f(pi))^(n+1)/((n+1)!)x^(n+1)$ facendo la derivata n+1-esima della mia funzione di partenza e vedo quando questo diventa minore di 0.1? In questo modo se ad esempio trovo che è soddisfatta per n=3 devo fare tutte e due le sommatorie per n che va da zero a tre e poi risolvere ľ integrale ?
È questa la mia perplessità visto che hai usato due indici diversi
Se vedi che è soddisfatta per n=3 ad esempio, nel tuo sviluppo finale dovranno comparire solo delle incognite con grado 3 al massimo, ovvero $a+bx+cx^2+dx^3$.
Siccome qui c'è una doppia sommatoria non c'è una regola fissa per dire a quale termine devi fermarti in ciascuna sommatoria, qui sta un po' nella perizia di chi svolge l'esercizio, però non è poi così difficile...
Ad esempio se dovessi arrivare fino al grado 10 e valuto $n=8$ (nella formula che ho postato prima), non andrò a valutare $k=5$, giusto ?
Poi se calcoli dei termini aggiuntivi non è un problema, siccome ti avvicini ancora di più al risultato esatto.
Siccome qui c'è una doppia sommatoria non c'è una regola fissa per dire a quale termine devi fermarti in ciascuna sommatoria, qui sta un po' nella perizia di chi svolge l'esercizio, però non è poi così difficile...
Ad esempio se dovessi arrivare fino al grado 10 e valuto $n=8$ (nella formula che ho postato prima), non andrò a valutare $k=5$, giusto ?
Poi se calcoli dei termini aggiuntivi non è un problema, siccome ti avvicini ancora di più al risultato esatto.
Si alla fine piú che difficile è scocciante ahah comunque ti ringrazio. Hai esaurito il mio dubbio
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