Approssimazione di derivata prima e seconda

[Spiral1]

Date come ipotesi
$cos\psi~~1$
$tan\psi=(delw)/(delx)$

Come si ricava

[size=120]$ (del\psi)/(delt)=((delw)/(delx*delt))/(1+((delw)/(delx))^2) ~~ (delw)/(delx*delt)$[/size]

e

[size=120]$ (del\psi)/(del^2t)=((delw)/(delx*del^2t))/(1+((delw)/(delx))^2)-(2*(delw)/(delx)((delw)/(delx*delt))^2)/(1+((delw)/(delx))^2)^2 ~~ (delw)/(delx*del^2t)$[/size]

Non mi è chiaro ne come vengano ricavate le derivate sul tempo t di psi ne come poi si ottenga l'approssimazione.

Grazie a chiunque ci voglia dare un'occhiata

[Rigel1]

Immagino che la prima ipotesi sia, in realtà, \( \psi\sim 0 \).
In tal caso, dalla seconda relazione hai che \( \psi = \arctan(w_x). \), da cui (supponendo tutto abbastanza regolare)
\( \psi_t = \partial_t [\arctan(w_x)] = \frac{w_{xt}}{1+(w_x)^2} \sim w_{xt} ,\)
dal momento che \( w_x = \tan \psi \sim 0 \).
Anche l'altra relazione si ottiene dalle usuali regole di derivazione.

[Zero87]

"Spiral":$(delw)/((delx)*(delt))$

Non capisco molto bene questa scrittura (immagino che tu intendi $\frac{\del^2 w}{\del x \del t}$, cioè la derivata seconda mista dico).

Comunque, se hai $\tan \psi = (\del w) / (\del x)$ deduco $\psi = arctan ((\del w )/ (\del x))$. Ricordiamo che la derivata di $arctan(x)$ è $1/(1+x^2)$ e, per le funzioni composte, la derivata di $arctan(f(x))$ è $1/(1+f(x)^2) f'(x)$.

Ora, sono indotto a pensare $x=x(t)$, il che implica

$(\del \psi) / (\del t) = (\del psi) /(\del x) (\delx) /(\del t)$ per la regola di derivazione delle funzioni composte
$(\del \psi) / (\del t) = \frac{(\del w) / (\del x) (\del x) / (\del t)}{1+((\del w) / (\del x))^2}$

Però c'è una piccola cosa che ancora non mi riporta...

[EDIT] Mentre scrivevo ha risposto Rigel... Io mi fiderei più di lui che di me

[Spiral1]

Grazie per le risposte, non avevo pensato all'arcotangente.
Ora mi è chiaro!