Approssimazione del primo ordine
Salve a tutti vorrei capire come si ottiene la seguente approssimazione:
Osservando che, $u^-1=(u^2)^{-1//2}$, e che $u^2=bb u xx bb u$, e facendo ricorso ad una convenzione secondo la quale, con le lettere in grassetto si possono indicare i vettori, mentre con $xx$ si puo' indicare il prodotto scalare tra due vettori, si ha che:
$|bb a - bb b|^{-1}=|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}+{b^2}/{a^2}]^{-1//2}$ $\qquad$ (1)
Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere:
$|bb a - bb b|^{-1}~=|bb a|^-1[1+{bb a \times \bb b}/{a^2}]$ $\qquad$ (2)
Ora vi chiedo attraverso quale ragionamento si ottiene il secondo membro della (2) ?
Ringrazio sin d'ora quanti vorrano leggere il post e darmi una risposta
Saluti Daniel
Osservando che, $u^-1=(u^2)^{-1//2}$, e che $u^2=bb u xx bb u$, e facendo ricorso ad una convenzione secondo la quale, con le lettere in grassetto si possono indicare i vettori, mentre con $xx$ si puo' indicare il prodotto scalare tra due vettori, si ha che:
$|bb a - bb b|^{-1}=|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}+{b^2}/{a^2}]^{-1//2}$ $\qquad$ (1)
Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere:
$|bb a - bb b|^{-1}~=|bb a|^-1[1+{bb a \times \bb b}/{a^2}]$ $\qquad$ (2)
Ora vi chiedo attraverso quale ragionamento si ottiene il secondo membro della (2) ?
Ringrazio sin d'ora quanti vorrano leggere il post e darmi una risposta
Saluti Daniel
Risposte
Ma è vera? io ho provato con $a=(2,0)$, $b=(1,0)$:
$|bb a + bb b|^{-1}=|(3,0)|^(-1)=1/3$
$|bb a|^-1[1+{bb a \times \bb b}/{a^2}]=|(2,0)|^-1[1+2/(1/4)]=1/2 * 9=9/2$
EDIT: mi sa che non ho capito molto la questione però...
P.S.: Daniel, come va il lavoro di procuratore?
$|bb a + bb b|^{-1}=|(3,0)|^(-1)=1/3$
$|bb a|^-1[1+{bb a \times \bb b}/{a^2}]=|(2,0)|^-1[1+2/(1/4)]=1/2 * 9=9/2$
EDIT: mi sa che non ho capito molto la questione però...
P.S.: Daniel, come va il lavoro di procuratore?
Grazie per l'attenzione e scusami hai ragione!!! 
Ho trascritto male il primo membro di ambedue le espressioni 
la (1) e la (2) che e' $|bb a - bb b|$ e non $|bb a + bb b|$.
Adesso correggo anche il post iniziale.
Bene solo che in quel caso adopero un'altro tipo di matematica... quella finanziaria
Ho trascritto male il primo membro di ambedue le espressioni la (1) e la (2) che e' $|bb a - bb b|$ e non $|bb a + bb b|$.Adesso correggo anche il post iniziale.
P.S.: Daniel, come va il lavoro di procuratore?
Bene solo che in quel caso adopero un'altro tipo di matematica... quella finanziaria
Non è niente di trascendentale...
Sia $X$ spazio vettoriale reale con prodotto scalare e siano $bb a, bb b in X$ con $|bb a|=a$ e $|bb b|=b$.
Allora:
$|bb a - bb b|= sqrt (bb (a-b) \ \times \ bb (a-b))=sqrt(a^2 + b^2- 2 \ bb a \times bb b)$
$|bb a - bb b|^{-1}=1/|bb a - bb b|=1/sqrt(a^2 + b^2- 2 \ bb a \times bb b)=1/a \ 1/ sqrt [1+{b^2}/{a^2}-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]=1/a \ [1+{b^2}/{a^2}-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^ (-1/2)
Sia $X$ spazio vettoriale reale con prodotto scalare e siano $bb a, bb b in X$ con $|bb a|=a$ e $|bb b|=b$.
Allora:
$|bb a - bb b|= sqrt (bb (a-b) \ \times \ bb (a-b))=sqrt(a^2 + b^2- 2 \ bb a \times bb b)$
$|bb a - bb b|^{-1}=1/|bb a - bb b|=1/sqrt(a^2 + b^2- 2 \ bb a \times bb b)=1/a \ 1/ sqrt [1+{b^2}/{a^2}-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]=1/a \ [1+{b^2}/{a^2}-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^ (-1/2)
No a questo risultato ero pervenuto anch'io e' quello successivo che non so spiegarmi, per intenderci la formula (2)
non so sembrerebbe lo sviluppo di Taylor di $1/sqrt (1-x)$ "tagliato" ad hoc... ma forse ci sarà qualcuno più ferrato di me su queste cose...
sì, l'idea di amel è buona
$1/sqrt (1-x)$ è uguale proprio a $1 + x/2$ (al primo ordine...)
direi che si passa da (1) a (2) prima scartando il termine ${b^2}/{a^2}$ (che è di secondo ordine in ${b}/{a}$) e poi usando appunto l'approssimazione lineare suggerita da amel
$1/sqrt (1-x)$ è uguale proprio a $1 + x/2$ (al primo ordine...)
direi che si passa da (1) a (2) prima scartando il termine ${b^2}/{a^2}$ (che è di secondo ordine in ${b}/{a}$) e poi usando appunto l'approssimazione lineare suggerita da amel
Scusate ma sono proprio "de coccio" e non mi e' chiaro come proseguire, quindi perdonatemi, ma continuo a non intuire la soluzione.
Se non ho capito male le vostre indicazioni, mi suggerite di trascurare in $|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}+{b^2}/{a^2}]^{-1//2}$ il termine $(b^2)/(a^2)$ perche' di secondo ordine rispetto a $x = |bb b|/|bb a|$.
Ma che s'intende con l'espressione di secondo ordine? Un infinitesimo o un infnito? Perche' in tal caso faccio osservare che non s'è detto nelle ipotesi che il rapporto x e' infinitesimo o infinito.
Comunque volendo tralasciare un secondo e proseguendo ahime' piu' avanti le cose mi sono ancora meno chiare.
Infatti, l'espressione precedente con questa prima approssimazione diventa:
$|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e da qui non so piu' come si prosegue. Infatti pur ricordando che $x=|bb b|/|bb a|$ e osservando che la formula di Mc Laurin di ordine 1 della funzione $1/sqrt (1-x)$ è uguale proprio a $1 + x/2$ posso dire che: $(1 - |bb b|/|bb a|)^(-1//2)=1+|bb b|/(2|bb a|)$. Ma il primo membro e' diverso da $[1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e quindi a questo punto proprio non riesco a capire come utilizzare il suggerimento di amel?
Che dirvi abbiate comprensione, e come dice Odifreddi: chi ha piedini puo' fare solo passettini
e' abbastanza chiaro vero che ho i piedi piccoli?
Se non ho capito male le vostre indicazioni, mi suggerite di trascurare in $|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}+{b^2}/{a^2}]^{-1//2}$ il termine $(b^2)/(a^2)$ perche' di secondo ordine rispetto a $x = |bb b|/|bb a|$.
Ma che s'intende con l'espressione di secondo ordine? Un infinitesimo o un infnito? Perche' in tal caso faccio osservare che non s'è detto nelle ipotesi che il rapporto x e' infinitesimo o infinito.
Comunque volendo tralasciare un secondo e proseguendo ahime' piu' avanti le cose mi sono ancora meno chiare.
Infatti, l'espressione precedente con questa prima approssimazione diventa:
$|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e da qui non so piu' come si prosegue. Infatti pur ricordando che $x=|bb b|/|bb a|$ e osservando che la formula di Mc Laurin di ordine 1 della funzione $1/sqrt (1-x)$ è uguale proprio a $1 + x/2$ posso dire che: $(1 - |bb b|/|bb a|)^(-1//2)=1+|bb b|/(2|bb a|)$. Ma il primo membro e' diverso da $[1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e quindi a questo punto proprio non riesco a capire come utilizzare il suggerimento di amel?
Che dirvi abbiate comprensione, e come dice Odifreddi: chi ha piedini puo' fare solo passettini
e' abbastanza chiaro vero che ho i piedi piccoli?
"fonseca":
Ma che s'intende con l'espressione di secondo ordine? Un infinitesimo o un infnito? Perche' in tal caso faccio osservare che non s'è detto nelle ipotesi che il rapporto x e' infinitesimo o infinito.
infinitesimo, naturalmente
Anche se tu dici: "faccio osservare che non s'è detto nelle ipotesi che", io interpolo...
Anzi, faccio il cattivo, cosa che oggi mi riesce bene. E ti dico: delle due, l'una:
- o sapevi che si parlava di infinitesimi e allora lo potevi dire
- o non era detto dalla tua fonte, ma avrebbe dovuto essere comprensibile dal contesto!
"fonseca":
Comunque volendo tralasciare un secondo e proseguendo ahime' piu' avanti le cose mi sono ancora meno chiare.
Infatti, l'espressione precedente con questa prima approssimazione diventa:
$|bb a|^-1 [1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e da qui non so piu' come si prosegue. Infatti pur ricordando che $x=|bb b|/|bb a|$ e osservando che la formula di Mc Laurin di ordine 1 della funzione $1/sqrt (1-x)$ è uguale proprio a $1 + x/2$ posso dire che: $(1 - |bb b|/|bb a|)^(-1//2)=1+|bb b|/(2|bb a|)$. Ma il primo membro e' diverso da $[1-{2 bb a \times bb b}/{a^2}]^{-1//2}$ e quindi a questo punto proprio non riesco a capire come utilizzare il suggerimento di amel?
sinceramente, io ho fatto "a naso"
Vuoi i dettagli formali?
allora, vediamo.
Tu dici:
"pur ricordando che $x=|bb b|/|bb a|$"
e chi l'ha detto? Tanto per ripagarti della stessa moneta...
A me garba di prendere $x={bb a \times bb b}/{2 a^2}$
ciao
PS: ovviamente, se c'è qualche passettino ancora da fare, ben volentieri!
Per quanto attiene a gli infinitesimi, e' vera la tua seconda ipotesi!
Ero immerso nel cercare di capire il passaggio e, fino a poco fa, non avevo prestato la dovuta attenzione, al fatto che, in precedenza, si affermava una disparita' nel modulo dei due vettori e, quindi, cercavo di renderla il piu' generale possibile eliminando questa ipotesi. Sicche' supporre che x fosse infinitesimo era possibile, ma toglieva generalita' alla formula. Per questo avevo scritto: supponiamo per ora che x sia un infinitesimo, mi "accontentavo" infatti anche della sua formulazione "debole" piuttosto che il nulla. Ed invece quella non era la formulazione debole ma, quella indicata dall'autore.
Non e' che volevo i dettagli formali cosi' per diletto ma unicamente perche' o capisco e sono in grado di ripercorrere tutta la strada precisamente oppure non capisco e non riesco a fingere bene di aver capito.
A tal proposito sono sempre diviso tra due modi di approcciarsi alla matematica. Il primo e' di un mio ex prof. che nel suo programma d'esame, che assomigliava ad un vademecum su come studiare quella materia, scriveva: le pagine di matematica vanno studiate con un po' di scetticismo, quindi dovete leggere un po' come se no vi fidaste di quanto vi e' scritto e cosi' quando v'imbattete in espressioni del tipo: "con facili passaggi si arriva a ..." dovete esser certi di saper esporre quei passaggi in tutti i loro piu' piccoli dettagli.
Il secondo modo di approcciarsi allo studio di alcuni passi in un esame e' di un assistente di un prof. che una volta mi disse una cosa, forse per alcuni anche banale ma per me assolutamente no, che mi e' rimasta impressa: "guarda che in un esame non e' fondamentale sapere ma dare l'impressione di sapre". Che mi lascio' scioccato per il suo contenuto intrinseco e perche' pronunciata da un assistente molto bravo e particolarmente competente anche in campi non particolarmente affini alla materia che insegnava, che in varie occasioni aveva fornito a me o ad altri studenti spiegazioni dettagliatissime di quanto affermava illustrandone tutti i piu' piccoli dettagli.
Quindi tornando agli aspetti formali
Volevi dire che bisogna porre $x=2{bb a \times bb b}/{ a^2}$ vero ?
Sempre della serie sono tonto: mi stupisco che si dica,
Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere
Questa frase mi lascia intendere che l'ordine da considerare sia rispetto a $x=|bb b|/|bb a|$ e poiche', come mi avete suggerito, si deve poi usare la formula di Mc Laurin di ordine 1 di una funzione opportunamente scelta e privata del termine complementare (perche' se non e' di Mc Laurin allora variano ambedue i termini del polinomio di Taylor di ordine 1, dovendo comparire $f(x_0)$ e $f'(x_0)*(x-x_0)$ e quindi non mi trovo piu' con i conti) ho supposto che la funzione da utilizzare fosse dipendente dalla variabile $x=|bb b|/|bb a|$ in un intorno del punto 0.
Invece, se non ho capito male questa volta, mi fai notare che devo fare un ulteriore ragionamento, osservando che:
se $x=|bb b|/|bb a| -> 0 \quad text(allora si ha che) \quad x=(2{bb a \times bb b}/{ a^2}) -> 0$
e che posso quindi utilizzare la formula di Mc Laurin lo stesso; ma questo procedimento, a cui non avevo nemmeno lontanamente pensato, mi
sembra troppo complesso, per me, da arguire in base alla sola indicazione Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere ... forse per aiutare quelli come me due righe in piu' su come andava fatta l'approssimazione non sarebbero male, oppure si tratta di un'approssimazione consueta e quindi diciamo nota di per se.
In ogni caso ora la conosco Grazie a voi
Ero immerso nel cercare di capire il passaggio e, fino a poco fa, non avevo prestato la dovuta attenzione, al fatto che, in precedenza, si affermava una disparita' nel modulo dei due vettori e, quindi, cercavo di renderla il piu' generale possibile eliminando questa ipotesi. Sicche' supporre che x fosse infinitesimo era possibile, ma toglieva generalita' alla formula. Per questo avevo scritto: supponiamo per ora che x sia un infinitesimo, mi "accontentavo" infatti anche della sua formulazione "debole" piuttosto che il nulla. Ed invece quella non era la formulazione debole ma, quella indicata dall'autore.
Non e' che volevo i dettagli formali cosi' per diletto ma unicamente perche' o capisco e sono in grado di ripercorrere tutta la strada precisamente oppure non capisco e non riesco a fingere bene di aver capito.
A tal proposito sono sempre diviso tra due modi di approcciarsi alla matematica. Il primo e' di un mio ex prof. che nel suo programma d'esame, che assomigliava ad un vademecum su come studiare quella materia, scriveva: le pagine di matematica vanno studiate con un po' di scetticismo, quindi dovete leggere un po' come se no vi fidaste di quanto vi e' scritto e cosi' quando v'imbattete in espressioni del tipo: "con facili passaggi si arriva a ..." dovete esser certi di saper esporre quei passaggi in tutti i loro piu' piccoli dettagli.
Il secondo modo di approcciarsi allo studio di alcuni passi in un esame e' di un assistente di un prof. che una volta mi disse una cosa, forse per alcuni anche banale ma per me assolutamente no, che mi e' rimasta impressa: "guarda che in un esame non e' fondamentale sapere ma dare l'impressione di sapre". Che mi lascio' scioccato per il suo contenuto intrinseco e perche' pronunciata da un assistente molto bravo e particolarmente competente anche in campi non particolarmente affini alla materia che insegnava, che in varie occasioni aveva fornito a me o ad altri studenti spiegazioni dettagliatissime di quanto affermava illustrandone tutti i piu' piccoli dettagli.
Quindi tornando agli aspetti formali
Volevi dire che bisogna porre $x=2{bb a \times bb b}/{ a^2}$ vero ?
Sempre della serie sono tonto: mi stupisco che si dica,
Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere
Questa frase mi lascia intendere che l'ordine da considerare sia rispetto a $x=|bb b|/|bb a|$ e poiche', come mi avete suggerito, si deve poi usare la formula di Mc Laurin di ordine 1 di una funzione opportunamente scelta e privata del termine complementare (perche' se non e' di Mc Laurin allora variano ambedue i termini del polinomio di Taylor di ordine 1, dovendo comparire $f(x_0)$ e $f'(x_0)*(x-x_0)$ e quindi non mi trovo piu' con i conti) ho supposto che la funzione da utilizzare fosse dipendente dalla variabile $x=|bb b|/|bb a|$ in un intorno del punto 0.
Invece, se non ho capito male questa volta, mi fai notare che devo fare un ulteriore ragionamento, osservando che:
se $x=|bb b|/|bb a| -> 0 \quad text(allora si ha che) \quad x=(2{bb a \times bb b}/{ a^2}) -> 0$
e che posso quindi utilizzare la formula di Mc Laurin lo stesso; ma questo procedimento, a cui non avevo nemmeno lontanamente pensato, mi
sembra troppo complesso, per me, da arguire in base alla sola indicazione Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere ... forse per aiutare quelli come me due righe in piu' su come andava fatta l'approssimazione non sarebbero male, oppure si tratta di un'approssimazione consueta e quindi diciamo nota di per se.
In ogni caso ora la conosco Grazie a voi
"fonseca":
Per quanto attiene a gli infinitesimi, e' vera la tua seconda ipotesi!
Ero immerso nel cercare di capire il passaggio e, fino a poco fa, non avevo prestato la dovuta attenzione, al fatto che, in precedenza, si affermava una disparita' nel modulo dei due vettori e, quindi, cercavo di renderla il piu' generale possibile eliminando questa ipotesi. Sicche' supporre che x fosse infinitesimo era possibile, ma toglieva generalita' alla formula. Per questo avevo scritto: supponiamo per ora che x sia un infinitesimo, mi "accontentavo" infatti anche della sua formulazione "debole" piuttosto che il nulla. Ed invece quella non era la formulazione debole ma, quella indicata dall'autore.
Non e' che volevo i dettagli formali cosi' per diletto ma unicamente perche' o capisco e sono in grado di ripercorrere tutta la strada precisamente oppure non capisco e non riesco a fingere bene di aver capito.
A tal proposito sono sempre diviso tra due modi di approcciarsi alla matematica. Il primo e' di un mio ex prof. che nel suo programma d'esame, che assomigliava ad un vademecum su come studiare quella materia, scriveva: le pagine di matematica vanno studiate con un po' di scetticismo, quindi dovete leggere un po' come se no vi fidaste di quanto vi e' scritto e cosi' quando v'imbattete in espressioni del tipo: "con facili passaggi si arriva a ..." dovete esser certi di saper esporre quei passaggi in tutti i loro piu' piccoli dettagli.
Il secondo modo di approcciarsi allo studio di alcuni passi in un esame e' di un assistente di un prof. che una volta mi disse una cosa, forse per alcuni anche banale ma per me assolutamente no, che mi e' rimasta impressa: "guarda che in un esame non e' fondamentale sapere ma dare l'impressione di sapre". Che mi lascio' scioccato per il suo contenuto intrinseco e perche' pronunciata da un assistente molto bravo e particolarmente competente anche in campi non particolarmente affini alla materia che insegnava, che in varie occasioni aveva fornito a me o ad altri studenti spiegazioni dettagliatissime di quanto affermava illustrandone tutti i piu' piccoli dettagli.
Quindi tornando agli aspetti formali
Volevi dire che bisogna porre $x=2{bb a \times bb b}/{ a^2}$ vero ?
Sempre della serie sono tonto: mi stupisco che si dica,
Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere
Questa frase mi lascia intendere che l'ordine da considerare sia rispetto a $x=|bb b|/|bb a|$ e poiche', come mi avete suggerito, si deve poi usare la formula di Mc Laurin di ordine 1 di una funzione opportunamente scelta e privata del termine complementare (perche' se non e' di Mc Laurin allora variano ambedue i termini del polinomio di Taylor di ordine 1, dovendo comparire $f(x_0)$ e $f'(x_0)*(x-x_0)$ e quindi non mi trovo piu' con i conti) ho supposto che la funzione da utilizzare fosse dipendente dalla variabile $x=|bb b|/|bb a|$ in un intorno del punto 0.
Invece, se non ho capito male questa volta, mi fai notare che devo fare un ulteriore ragionamento, osservando che:
se $x=|bb b|/|bb a| -> 0 \quad text(allora si ha che) \quad x=(2{bb a \times bb b}/{ a^2}) -> 0$
e che posso quindi utilizzare la formula di Mc Laurin lo stesso; ma questo procedimento, a cui non avevo nemmeno lontanamente pensato, mi
sembra troppo complesso, per me, da arguire in base alla sola indicazione Al primo ordine, in $|\mathbf b|/|\mathbf a|$ si puo' scrivere ... forse per aiutare quelli come me due righe in piu' su come andava fatta l'approssimazione non sarebbero male, oppure si tratta di un'approssimazione consueta e quindi diciamo nota di per se.
In ogni caso ora la conosco Grazie a voi
mamma mia, non mi aspettavo un trattato!
visto che oggi sono in vena, alcune risposte:
1.
Dici: "Non e' che volevo i dettagli formali cosi' per diletto ma unicamente perche' o capisco e sono in grado di ripercorrere tutta la strada precisamente oppure non capisco e non riesco a fingere bene di aver capito."
Che dire da parte mia? Fai bene.
2.
quanto a prof ed assistente, in particolare l'assistente, essi si riferivano a due cose diverse.
Il primo parlava di studiare, il secondo si riferiva all'esame.
Lo si voglia o no, si tratta di due cose diverse (e lo restano, per quanti sforzi si facciano)
3.
sui dettagli e il "gap" da colmare, puoi aver ragione che fosse troppo ampio (chi è miglior giudice di te su questo?)
ma, per fortuna, è un forum e si può colloquiare (cosa che avevi già fatto, giustamente, prima)
4.
ciao!
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo