Approssimazione (controllo)

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Ho la funzione

\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac{\sin(x)-x}{x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}\)

Devo trovare un polinomio di primo grado $P_1(x)$ e un intorno $I_(x_0=0)$ tali che l'errore $E(x)$ che commetto approssimando la funzione sia inferiore di $10^-2$.

Per prima cosa controllo che la funzione sia continua:

$lim_(x to 0^pm) (sin(x)-x)/(x^2) = text( Hopital ) = (cos(x)-1)/(2x) = text( Hopital ) = -sin(x)/2=0 Rightarrow text( è continua)$

Ora impiego la formula di McLaurin resto secondo Lagrange:

$sin(x)=x-x^3/6+cos(xi)/(5!)x^5$

$Rightarrow sin(x)-x=-x^3/6+cos(xi)/(5!)x^5$

$Rightarrow (sin(x)-x)/x^2=-x/6+cos(xi)/(5!)x^3$

Quindi il mio errore vale

$E(x)=|f(x)-P_1(x)|=|cos(xi)/(5!)x^3|$

L'intorno lo scelgo simmetrico: $I_0=(-delta,delta)$ con $delta>0$

e poiché $0 <= |x| <= |delta|$

allora

$E(x)=|cos(xi)/(5!)x^3| <= |cos(xi)/(5!)delta^3|$

Se ponessi $delta=pi/4$ avrei che $I_0=(-pi/4,pi/4)$, e quindi $xi in (-pi/4,pi/4)$. Poiché $xi$ appartiene a tale intervallo, il massimo valore che $cos(xi)$ può assumere è $1$, cioé

$|cos(xi)|<=1$

Perciò:

$E(x)=|cos(xi)/(5!)delta^3| <= 1/(5!)delta^3 <=10^-2 Rightarrow delta^3 <= 120 cdot 10^-2=6/5$

$Rightarrow delta=root(3)(6/5) approx 1,06$ che però non va bene perché è maggiore di $pi/4$ imposto prima.

Se ponessi invece $delta=pi/2$ avrei che $I_0=(-pi/2,pi/2)$, e quindi $xi in (-pi/2,pi/2)$. Poiché $xi$ appartiene a tale intervallo, il massimo valore che $cos(xi)$ può assumere è ancora $1$, cioé

$|cos(xi)|<=1$

Perciò:

$E(x)=|cos(xi)/(5!)delta^3| <= 1/(5!)delta^3 <=10^-2 Rightarrow delta^3 <= 120 cdot 10^-2=6/5$

$Rightarrow delta=root(3)(6/5) approx 1,06$ che stavolta posso accettare perché è minore di $pi/2$ imposto prima.

E' corretto?
Grazie

[Raptorista1]

Bello, ma inutilmente complicato.

Senza introdurre \(\delta\), senza introdurre intorni: il tuo errore è
\[
E = \max_{|x|, \xi \in [0, \tilde x)} \left| \frac{\cos(\xi) x^3}{5!} \right|
\]
e tu vuoi che sia \(E \le 10^{-2}\). La procedura è straightforward:
\[
\max_{|x|, \xi \in [0, \tilde x)} \left| \frac{\cos(\xi) x^3}{5!} \right| \le \max_{\xi \in [0, \tilde x)} \left| \frac{\cos(\xi) \tilde x^3}{5!} \right| \le \left| \frac{\tilde x^3}{5!} \right| = 10^{-2}.
\]
Il primo passaggio è vero perché \(y = x^3\) è crescente in modulo ed il secondo perché \(|\cos x| \le 1\) SEMPRE.
A questo punto risolvi e trovi una certa \(\tilde x\).
DOPO ciò, e solo DOPO ciò, deduci che l'intorno che stai cercando è l'intorno dell'origine di raggio \(\tilde x\).


Una nota: la funzione in esame non è continua in \(x = 0\), è prolungabile con continuità!