Approssimazione con Taylor-Lagrange
Ciao a tutti.
Ho provato a fare il seguente esercizio ma non mi tornano delle cose.
Es. Calcolare un'approssimazione di $cos(\frac{1}{5})$ con un errore minore di $10^ {-2}$.
Ho fatto l'esercizio in questo modo: sia $f(x)=cosx$ e $T_{n,0}$ il polinomio di Taylor di ordine $n$ nel punto $0$.
$|f(x)-T_{n,0}(x)|=\abs{\frac{f^{(n+1)}(\xi)x^{n+1}}{(n+1)!}}=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)||x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ maggiorando la derivata $n+1$-esima con $1$ (tanto verrà un seno o un coseno) e prendendo $\xi\in(0,\frac{1}{5})$
Allora $|f(\frac{1}{5})-T_{n,0}(\frac{1}{5})|\leq \frac{|\frac{1}{5}|^{n+1}}{(n+1)!}$
Se scelgo $n=2$ ottengo $\frac{1}{125\cdot 6}\leq 10^{-2}$
Allora $T_{2,0}(x)=1-\frac{x^2}{2}$ e $T_{2,0}(\frac{1}{5})=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}=0,98$
L'approssimazione cercata di $cos(\frac{1}{5})$ è $\frac{49}{50}=0,98$
Ma se ricontrollo che l'approssimazione sia effettivamente con un errore inferiore a $10^ {-2}$ non mi viene corretto.
Infatti $|cos(\frac{1}{5})-T_{n,0}(\frac{1}{5})|=0,9999-0,98=0,0199$ che non è inferiore a $10^ {-2}$....Dove sbaglio?
Ho provato a fare il seguente esercizio ma non mi tornano delle cose.
Es. Calcolare un'approssimazione di $cos(\frac{1}{5})$ con un errore minore di $10^ {-2}$.
Ho fatto l'esercizio in questo modo: sia $f(x)=cosx$ e $T_{n,0}$ il polinomio di Taylor di ordine $n$ nel punto $0$.
$|f(x)-T_{n,0}(x)|=\abs{\frac{f^{(n+1)}(\xi)x^{n+1}}{(n+1)!}}=\frac{|f^{(n+1)}(\xi)||x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ maggiorando la derivata $n+1$-esima con $1$ (tanto verrà un seno o un coseno) e prendendo $\xi\in(0,\frac{1}{5})$
Allora $|f(\frac{1}{5})-T_{n,0}(\frac{1}{5})|\leq \frac{|\frac{1}{5}|^{n+1}}{(n+1)!}$
Se scelgo $n=2$ ottengo $\frac{1}{125\cdot 6}\leq 10^{-2}$
Allora $T_{2,0}(x)=1-\frac{x^2}{2}$ e $T_{2,0}(\frac{1}{5})=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}=0,98$
L'approssimazione cercata di $cos(\frac{1}{5})$ è $\frac{49}{50}=0,98$
Ma se ricontrollo che l'approssimazione sia effettivamente con un errore inferiore a $10^ {-2}$ non mi viene corretto.
Infatti $|cos(\frac{1}{5})-T_{n,0}(\frac{1}{5})|=0,9999-0,98=0,0199$ che non è inferiore a $10^ {-2}$....Dove sbaglio?
Risposte
Il procedimento è corretto. Secondo me hai calcolato il coseno di un quinto, considerando quest'ultimo in gradi, in Analisi però conviene lavorare in radianti. Cambia le impostazioni della tua calcolatrice. 
Ti ringrazio. Hai ragione! Avevo la calcolatrice impostata male.. 
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