Approssimazione con Taylor-Lagrange

[mauri54]

Ciao a tutti.
E' il mio primo post e vi scrivo perché non riesco a risolvere il seguente esercizio che prevede l'utilizzo della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

ES: Sia \( f(x)=e^{-x^2}-cos(x\sqrt{2}) \).
Provare che \( |f(1)-\frac{1}{e}|\leq \frac{1}{6} \).

So che conviene sfruttare il fatto che \( f(1)=\frac{1}{e}-cos(\sqrt{2})\).
Quindi sostituendo ho che \( f(1)-\frac{1}{e}=-cos(\sqrt{2}) \) e la mia tesi diventa provare che \( |-cos(\sqrt{2})|=|cos(\sqrt{2})|\leq \frac{1}{6} \).

A questo punto come utilizzo la formula di Taylor con resto di Lagrange? Sareste così gentili da spiegarmi i passaggi?
Vi ringrazio!!

[Black Magic]

$cos(y) =1- \frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^5 cos^v(t)}{5!}$
Se $y=\sqrt{2}x$, per $x=1 \rightarrow y=\sqrt{2}$

E ottieni:
$|f(1)-1/e| = |1/6-\frac{sin(t) \sqrt{2}^5}{5!}|$,

$0
Cosa significa?

Edit:
Ti chiedo scusa se poteva essere frainteso, il fatto è che ancora non so scrivere bene le derivate di ordine superiore a 1... Non è un esponente quello sul seno, è la derivata quinta del coseno (che è $-sin(x)$. Ora è corretto

[mauri54]

Ok credo di aver capito.
Però ho un dubbio. Il resto di Lagrange in generale lo scrivo come \( R_n(x)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \) con \( t\in(0,\sqrt{2}) \)
Nel mio caso userei la mia $f$, $x=\sqrt{2}$ e $x_0=0$
Quindi nel resto di Lagrange che hai scritto tu non dovrebbe comparire $(\sqrt{2})^{5}$ al posto di $t^5$? Sbaglio?

Quindi seguendo quello che hai detto mi verrebbe
$ |f(1)-1/e| = |1/6-\frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}| $
Per concludere osservo che siccome \( t\in(0,\sqrt{2}) \), allora \( 0 $|f(1)-1/e| = |1/6-\frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}|<\frac{1}{6}$ (ho controllato che $ \frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}$ non fosse più grosso di $\frac{1}{6}$).

E' corretto come ho ragionato?
Grazie mille!

[Black Magic]

"mauri54":Ok credo di aver capito.
Però ho un dubbio. Il resto di Lagrange in generale lo scrivo come \( R_n(x)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \) con \( t\in(0,\sqrt{2}) \)
Nel mio caso userei la mia $f$, $x=\sqrt{2}$ e $x_0=0$
Quindi nel resto di Lagrange che hai scritto tu non dovrebbe comparire $(\sqrt{2})^{5}$ al posto di $t^5$? Sbaglio?

Quindi seguendo quello che hai detto mi verrebbe
$ |f(1)-1/e| = |1/6-\frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}| $
Per concludere osservo che siccome \( t\in(0,\sqrt{2}) \), allora \( 0 $|f(1)-1/e| = |1/6-\frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}|<\frac{1}{6}$ (ho controllato che $ \frac{sin^5(t) (\sqrt{2})^5}{5!}$ non fosse più grosso di $\frac{1}{6}$).

E' corretto come ho ragionato?
Grazie mille!

Sì è così, ho corretto... Ma non hai $sin^5$ volevo indicare che la derivata quinta di $cos(x)$ è $-sin(x)$

[mauri54]

Ok allora posto nuovamente la correzione.
\( cos(y)=1-\displaystyle\frac{y^2}{2!}+\displaystyle\frac{y^4}{4!}+\frac{cos^{(V)}(t)}{5!}y^5=1-\displaystyle\frac{y^2}{2!}+\displaystyle\frac{y^4}{4!}-\frac{sin(t)}{5!}y^5 \) è il polinomio di Taylor con resto di Lagrange fino al quinto ordine.

\( cos(\sqrt{2})=1-\displaystyle\frac{(\sqrt{2})^2}{2!}+\displaystyle\frac{(\sqrt{2})^4}{4!}-\frac{sin(t)}{5!}(\sqrt{2})^5=\frac{1}{6}-\frac{sin(t)}{5!}(\sqrt{2})^5=\frac{1}{6}-\frac{sin(t)}{15\sqrt{2}}\)

$ |f(1)-1/e| = |\frac{1}{6}-\frac{sin(t)}{15\sqrt{2}}| $ con \( t\in(0,\sqrt{2}) \)

Ma poiché \( t\in(0,\sqrt{2}) \) allora \( 0 Quindi:
$ |f(1)-1/e| = |\frac{1}{6}-\frac{sin(t)}{15\sqrt{2}}|<|\frac{1}{6}-0|=\frac{1}{6}$