Approssimazione attraverso Polinomio di Taylor. Ho problemi col resto

[Nick010]

Dunque.

Devo approssimare attraverso taylor questa funzione

$e^x*sin(x)$

Al secondo ordine... centrato in x0=0.
Bene, fin qui tutto bene

$f'(x)=e^x*cos(x)+e^x*sin(x)$

Derivata seconda adesso.

$f''(x)= 2*e^x*(cos(x))$
...
$f(0)=0$

Ho tutto ciò che mi serve per l'approssimazione

$T3(x)=0+x+(x^2*2)/2+R(x).$

Dove R(x) è il resto secondo Lagrange

Fin qui tutto giusto?

Il problema adesso è calcolare (o meglio, stimare) il resto.

Mi si chiede di farlo in un intervallo $[0;pi/4]$

Io faccio così, considero un nuovo punto c e l'errore lo stimo così

$f'''(c)=(2*e^c(cos(c)-sin(c))*(x^3))/(3!)$;
A questo punto mi dico che il termine cos(c)-sin(c) può essere al massimo 1. Per cui lo considero come 1 e infine sostituisco $(pi/4)$ a 'c' e a 'x';
Dopo di che ho questo:

$(4,376)*(0,48447)/(3!) =0,3533$

Ma ho dubbi sulla correttezza di ciò. Qualcuno può intervenire? Un forte ringraziamento!

[_fabricius_1]

"Nick0":
A questo punto mi dico che il termine cos(c)-sin(c) può essere al massimo 1.

Questo non è vero però

Puoi vederlo in almeno due modi.
1. Ti studi la funzione y definita da \(y(x)=\cos x-\operatorname{sen} x\).
2. Usi questo artificio per ricondurti a un'unica funzione trigonometrica:
\begin{align} \cos(x)-\operatorname{sen}(x)&=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}(x)\right)\\
&= \sqrt{2}\left(\operatorname{sen}\left(\frac{3}{4}\pi\right) \cos(x)+\cos\left(\frac{3}{4} \pi\right)\operatorname{sen}(x)\right)\\
&= \sqrt{2} \operatorname{sen}\left(\frac{3}{4}\pi+x\right).
\end{align}
Dunque il massimo (su tutto $RR$) è \(\sqrt{2}\).

[Nick010]

Ma $3/4pi$ non è fuori dall'intervallo?

In ogni caso se così fosse l'errore sarebbe

$(2*e^(pi/4)*(2^(1/2)*(pi/4)^3)/(3!) ) $

Tutto giusto?

Il mio ragionamento, comunque era corretto, a parte il mio errore su (sin(x)-cos(x) il cui massimo è $2^(1/2)$?

[_fabricius_1]

Ti chiedo scusa, sono stato distratto e non mi sono accorto della limitazione.
Sebbene il massimo in $RR$ di \(\cos(x)-\operatorname{sen}(x)=\sqrt{2} \operatorname{sen}\left(\frac{3}{4}\pi+x\right)\) sia \(\sqrt{2}\), nell'intervallo \([0,\pi/4]\) il massimo è proprio 1.
Il procedimento quindi mi sembra del tutto corretto.
Magari ricontrolla solo i calcoli alla fine (a me esce un risultato più piccolo, circa un quarto del tuo).