Approssimazione all'infinito

[Bade1]

Ho una domanda che secondo me è trabocchetto.
Viene chiesto:

provare o confutare la seguente affermazione
$ 2x^3 ~ 2x^3 + sinx + 17 $
per x che va all'infinito.

Io direi che è vero, perchè all'infinito $ 2x^3 + sinx + 17 $ si comporta approssimativamente come $ 2x^3 $ , ovvero $ sinx + 17 $ sono o piccolabili

Però mi è venuto il dubbio che non sia il contrario! Cioè fosse stato scritto
$ 2x^3 + sinx + 17 ~ 2x^3 $ era sicuramente giusto...ma vale anche il contrario??

Grazie..

[xunil1987]

Prova anche a calcolare il limite del rapporto delle funzioni.

$\lim_{x \to +\infty}(2x^{3}+sin(x)+17)/(2x^{3})$

Cosa deve succedere?

[Bade1]

Viene 1, perchè tengo in considerazione solo i termini di grado massimo. Poi semplificando viene 1.



Ok allora è giusto, la risposta è VERO.

[xunil1987]

[Seneca1]

$2x^3+sinx + 17 sim 2x^3$ era sicuramente giusto...ma vale anche il contrario??

Sì.

Si può provare che la relazione $f(x) sim g(x)$ per $x -> x_0$, caratterizzata dall'essere $lim_(x -> x_0) (f(x))/(g(x)) = 1$, è un relazione di equivalenza. Quindi è riflessiva, simmetrica e transitiva. Se ne hai voglia, verificalo tu; è estremamente semplice.