Approssimazione
Ciao ragazzi, sono nuovo del forum,
ho da poco fatto l'esame di analisi2 e mi è capitato un esercizio che purtroppo non credo di aver fatto nel modo corretto.
L'esercizio è il seguente:
Sia f(x)=sin(lnx)
Determinare un intorno di x0=e^pi/2 e un polinomio P=P(x) di secondo grado tale che P approssimi f in I a meno di 10^-3.
se sostituisco direttamente x0 nella funzione viene identicamente 1! o sbaglio?! quindi il polinomio cosa approssima?!
e poi la funzione seno non ha uno sviluppo dispari? come possono chiedermi un polinomio di secondo grado??
se qualcuno può darmi una mano lo ringrazio in anticipo.
ho da poco fatto l'esame di analisi2 e mi è capitato un esercizio che purtroppo non credo di aver fatto nel modo corretto.
L'esercizio è il seguente:
Sia f(x)=sin(lnx)
Determinare un intorno di x0=e^pi/2 e un polinomio P=P(x) di secondo grado tale che P approssimi f in I a meno di 10^-3.
se sostituisco direttamente x0 nella funzione viene identicamente 1! o sbaglio?! quindi il polinomio cosa approssima?!
e poi la funzione seno non ha uno sviluppo dispari? come possono chiedermi un polinomio di secondo grado??
se qualcuno può darmi una mano lo ringrazio in anticipo.
Risposte
Si rivolge allo sviluppo in serie della funzione $f(x)=sin(ln(x))$ se segui il dettaglio troverai ciò che cerchi, infatti:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+1/2f''(x_0)(x-x_0)^2$
Nel tuo caso:
$f(x_0)=1$
$f'(x)=cos(lnx)*1/x rightarrow f'(x_0) = 0$
$f''(x)=-sin(lnx)*1/(x^2)-cos(ln(x))*1/(x^2) rightarrow f''(x_0) = -4/(pi^2)$
quindi:
$f(x) = 1 - 2/(pi^2)(x-pi/2)^2$
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+1/2f''(x_0)(x-x_0)^2$
Nel tuo caso:
$f(x_0)=1$
$f'(x)=cos(lnx)*1/x rightarrow f'(x_0) = 0$
$f''(x)=-sin(lnx)*1/(x^2)-cos(ln(x))*1/(x^2) rightarrow f''(x_0) = -4/(pi^2)$
quindi:
$f(x) = 1 - 2/(pi^2)(x-pi/2)^2$
grazie mille Lord K,
ti chiedo solo un ultima cosa: l'esercizio continuava chiedendo il dominio di G(x)= 350 ∫ x [(sin(t-e^pi))/(sin(lnt)dt]
a me risulta domG= (0, e^2pi) ; il mio dubbio è sull'ordine di infinitesimo di sin(lnt). é di ordine 1 giusto?
ti chiedo solo un ultima cosa: l'esercizio continuava chiedendo il dominio di G(x)= 350 ∫ x [(sin(t-e^pi))/(sin(lnt)dt]
a me risulta domG= (0, e^2pi) ; il mio dubbio è sull'ordine di infinitesimo di sin(lnt). é di ordine 1 giusto?
scusate il limite per t che tende a 0 esiste?
E' un infinitesimo di ordine 1, poichè:
$lim_(t rightarrow 1) sin(lnt)/lnt =1$
ed anche:
$lim_(t rightarrow 1) lnt/(t-1) =1
quindi:
$lim_(t rightarrow 1) sin(lnt)/(t-1) = 1
Per il dominio deve essere:
$E={(sin(lnt) !=0),(t>0):}$
$E={(lnt!= pi/2 +kpi),(t>0):}$
$E={(t!=e^(pi/2 +kpi)),(t>0):}$
$E={t in RR^+-{0}: t!=e^(pi/2 +kpi), k in ZZ}$
$lim_(t rightarrow 1) sin(lnt)/lnt =1$
ed anche:
$lim_(t rightarrow 1) lnt/(t-1) =1
quindi:
$lim_(t rightarrow 1) sin(lnt)/(t-1) = 1
Per il dominio deve essere:
$E={(sin(lnt) !=0),(t>0):}$
$E={(lnt!= pi/2 +kpi),(t>0):}$
$E={(t!=e^(pi/2 +kpi)),(t>0):}$
$E={t in RR^+-{0}: t!=e^(pi/2 +kpi), k in ZZ}$
grazie per la risp,
ma non mi torna il dominio che hai scritto.. non dovrebbe essere t≠e^k∏? e poi se anche per te l'integrale non converge in x=o il dominio di G(x) è (0,e^2∏) giusto? te lo chiedo anche perchè il limite per t→0 a me risulta non esistere..
ma non mi torna il dominio che hai scritto.. non dovrebbe essere t≠e^k∏? e poi se anche per te l'integrale non converge in x=o il dominio di G(x) è (0,e^2∏) giusto? te lo chiedo anche perchè il limite per t→0 a me risulta non esistere..
Mi sono confuso con seno e coseno. Hai ragione tu! $t!=e^(kpi)$.
Il dominio è tutto $RR$ meno i punti del tipo $t!=e^(kpi)$
Il limite non esiste per $t rightarrow 0$
Il dominio è tutto $RR$ meno i punti del tipo $t!=e^(kpi)$
Il limite non esiste per $t rightarrow 0$
quindi mi confermi in pratica che il dom di G(x) sia (0,e^2∏) in quanto in 0 la funzione integranda non è definita mentre in per x che tende a e^∏ l'int. improprio è convergente no?
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