Approssimare valore dell'integrale

Rebdiluca
Ciao a tutti, dovrei risolvere il seguente esercizio: calcolare con un errore inferiore a 0.01 l'integrale $ int_(0)^(pi) e^(-sinx) dx $. Applico lo sviluppo dell'esponenziale e, dato che c'è convergenza totale in ogni intervallo $ [-A,A] $ con $ A>0 $, il tutto diventa: $ int_(0)^(pi) sum_(n =0 \ldots) (-1)^n sin^n(x)/(n!) dx $. E ancora: $ sum_(n =0 \ldots) (-1)^n/(n!) int_(0)^(pi) sin^n(x) dx $. Fin qui sembra non dare troppi problemi. Infatti, il problema nasce ora! Come posso calcolare l'integrale che mi è rimasto? Grazie dell'aiuto!

Risposte
Raptorista1
[xdom="Raptorista"]Questa è roba di numerica, sposto nella sezione giusta.[/xdom]

Venendo al problema, l'integrazione per serie non ti serve se non sai dare una stima dell'errore, e non mi sembra si riesca in questo caso.
Credo tu debba usare altri metodi. I nomi "metodo dei rettangoli" e "metodo dei trapezi" ti dicono qualcosa?

Rebdiluca
Quei due metodi non mi dicono molto...al corso di Analisi II stamattina abbiamo calcolato con un errore inferiore a 0.01 l'integrale $ int_(0)^(1) x^x dx $ e ho pensato che quest'esercizio si potesse risolvere allo stesso modo, ma a quanto pare mi sbagliavo. Quindi non può proprio essere risolto seguendo il mio procedimento?

Raptorista1
Aaah, aspetta, mi si è accesa la lampadina :D

Puoi avere un'approssimazione del valore dell'integrale calcolando, anziché la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}\) la somma finita \(\sum_{n=0}^N\), e fin qui tutto bene. Non mi ero accorto che la serie è a segni alterni, e quindi forse il trucco sta nell'usare il criterio di Leibnitz per le successioni per avere una stima dell'errore.

Rimetto in analisi, visto che non è un argomento di numerica stavolta [è di numerica, ma non da fare con la numerica XD].

Rebdiluca
Sì esatto, grazie al criterio di Leibnitz si riesce ad avere una stima dell'errore facendo la somma finita. Il problema è che non so come risolvere l'integrale $ int_(0)^(1) sin^n x dx $. Ho provato a risolverlo per parti, ma non riesco a "vedere" cosa succede procedendo oltre. Un piccolo suggerimento?

Raptorista1
Non ci sono formule tabulate per questi integrali? O sostituzioni furbe o altro

Mathita
Sia
$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$

Poni $S_N= \sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}sin^n(x)dx$

Dal teorema di Leibniz sulle serie a segni alterni si ha che:

$|S-S_N|
dove nel nostro caso $a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)!}\int_{0}^{\pi}sin^(N+1)(x)dx$

Poiché l'integrale non è di immediata risoluzione, procediamo a maggiorare $a_{N+1}$.

Osserva che $0\le \sin^{N+1}(x)\le 1\quad\forall x\in [0, \pi]\quad\forall N\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$

Pertanto, per la monotonia dell'operatore integrale si ha che:

$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{N+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}dx=\pi $

Dunque:

$a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}$

Affinché l'errore sia inferiore a 0.01, richiediamo che $a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}<\frac{1}{100}\implies $

$(N+1)!>\frac{100}{pi}$

Una volta trovata N hai finito.

Rebdiluca
Che bella soluzione, grazie Mathita! Quindi al posto di calcolare l'integrale $ int_(0)^(pi) sin^n(x) dx $ posso direttamente definire la somma finita e applicare il criterio di Leibnitz! Una volta trovato $ N=5 $, poi devo fare comunque quegli integrali per approssimare il valore di quello di partenza, giusto?

Rebdiluca
Probabile che abbia fatto qualche errore, ma facendo la somma per n da 1 a 5 di SN mi viene -1,39 e ciò non mi sembra possibile. Passo qui i risultati degli integrali definiti:
$ int_(0)^(pi) sinx dx = 2 $
$ int_(0)^(pi) sin^2 x dx = pi/2 $
$ int_(0)^(pi) sin^3 x dx = 4/3 $
$ int_(0)^(pi) sin^4 x dx = 3/8pi $
$ int_(0)^(pi) sin^5 x dx = 16/15 $

Cosa sbaglio?

Mathita
Attenzione, $N=4$

Inoltre, $S_4=\sum_{n={\color{red}0}}^{4} \frac{(-1)^{n}}{n}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx=\frac{81}{64}\pi-\frac{20}{9} =[\mbox{ circa }]1.75386$

Mentre l'integrale $\int_{0}^{\pi}e^{-\sin(x)}dx = [\mbox{ circa }] 1.74617$.

La serie inoltre parte da 0 e non da 1 (errore mio, scusami, tento di correggere). Purtroppo non riesco a fare il simbolo "circa". Pensavo fosse simeq, ma non funziona.

Rebdiluca
Grazie Mathita, sono stato più distratto di quanto pensassi! In generale, quando ho un esercizio del genere, posso sempre considerare $ S_N $ anche se al suo interno c'è un integrale o c'è qualche condizione particolare che devo soddisfare? Non so se sono stato molto chiaro con questa domanda :roll:

Mathita
Osserva che, fissato $n\in\mathbb{N}$

$b_{n}=\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$

è in realtà una successione, infatti, ad ogni numero naturale associ un numero reale, dato appunto dalla risoluzione dell'integrale stesso.

Per utilizzare il criterio di Leibniz, devi verificare che

$a_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$

soddisfi le condizioni.

1. $a_{n}> 0\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è positiva)
2. $a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è decrescente)
3. $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ (la successione è infinitesima)

Dimostrare 1 e 3 è abbastanza facile, per 2 invece ti devi ingegnare un po'.

Io procederei così.

$0\le \sin(x)\le 1\quad\forall x\in[0,\pi]$

Moltiplico membro a membro per $\sin^n(x)$ che è un fattore non negativo in $[0,\pi]$ di conseguenza non inverte il verso delle disuguaglianze. Otterremo:

$0\le \sin^{n+1}(x)\le sin^{n}(x)$

L'operatore integrale mantiene le disuguaglianze, pertanto:

$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$

A questo punto divido membro a membro per (n+1)! ottenendo.

$0\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Osserviamo inoltre che da $(n+1)!\ge n!$ segue che $\frac{1}{(n+1)!}\le \frac{1}{n!}$

Pertanto vale la seguente catena di disuguaglianze

$0\le\overbrace{ \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx}^{a_{n+1}}\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\le \overbrace{\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx}^{a_n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$

Abbiamo finito.

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