Approssimare valore dell'integrale
Ciao a tutti, dovrei risolvere il seguente esercizio: calcolare con un errore inferiore a 0.01 l'integrale $ int_(0)^(pi) e^(-sinx) dx $. Applico lo sviluppo dell'esponenziale e, dato che c'è convergenza totale in ogni intervallo $ [-A,A] $ con $ A>0 $, il tutto diventa: $ int_(0)^(pi) sum_(n =0 \ldots) (-1)^n sin^n(x)/(n!) dx $. E ancora: $ sum_(n =0 \ldots) (-1)^n/(n!) int_(0)^(pi) sin^n(x) dx $. Fin qui sembra non dare troppi problemi. Infatti, il problema nasce ora! Come posso calcolare l'integrale che mi è rimasto? Grazie dell'aiuto!
Risposte
[xdom="Raptorista"]Questa è roba di numerica, sposto nella sezione giusta.[/xdom]
Venendo al problema, l'integrazione per serie non ti serve se non sai dare una stima dell'errore, e non mi sembra si riesca in questo caso.
Credo tu debba usare altri metodi. I nomi "metodo dei rettangoli" e "metodo dei trapezi" ti dicono qualcosa?
Venendo al problema, l'integrazione per serie non ti serve se non sai dare una stima dell'errore, e non mi sembra si riesca in questo caso.
Credo tu debba usare altri metodi. I nomi "metodo dei rettangoli" e "metodo dei trapezi" ti dicono qualcosa?
Quei due metodi non mi dicono molto...al corso di Analisi II stamattina abbiamo calcolato con un errore inferiore a 0.01 l'integrale $ int_(0)^(1) x^x dx $ e ho pensato che quest'esercizio si potesse risolvere allo stesso modo, ma a quanto pare mi sbagliavo. Quindi non può proprio essere risolto seguendo il mio procedimento?
Aaah, aspetta, mi si è accesa la lampadina 
Puoi avere un'approssimazione del valore dell'integrale calcolando, anziché la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}\) la somma finita \(\sum_{n=0}^N\), e fin qui tutto bene. Non mi ero accorto che la serie è a segni alterni, e quindi forse il trucco sta nell'usare il criterio di Leibnitz per le successioni per avere una stima dell'errore.
Rimetto in analisi, visto che non è un argomento di numerica stavolta [è di numerica, ma non da fare con la numerica XD].
Puoi avere un'approssimazione del valore dell'integrale calcolando, anziché la serie \(\sum_{n=0}^{\infty}\) la somma finita \(\sum_{n=0}^N\), e fin qui tutto bene. Non mi ero accorto che la serie è a segni alterni, e quindi forse il trucco sta nell'usare il criterio di Leibnitz per le successioni per avere una stima dell'errore.
Rimetto in analisi, visto che non è un argomento di numerica stavolta [è di numerica, ma non da fare con la numerica XD].
Sì esatto, grazie al criterio di Leibnitz si riesce ad avere una stima dell'errore facendo la somma finita. Il problema è che non so come risolvere l'integrale $ int_(0)^(1) sin^n x dx $. Ho provato a risolverlo per parti, ma non riesco a "vedere" cosa succede procedendo oltre. Un piccolo suggerimento?
Non ci sono formule tabulate per questi integrali? O sostituzioni furbe o altro
Sia
$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
Poni $S_N= \sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}sin^n(x)dx$
Dal teorema di Leibniz sulle serie a segni alterni si ha che:
$|S-S_N|
dove nel nostro caso $a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)!}\int_{0}^{\pi}sin^(N+1)(x)dx$
Poiché l'integrale non è di immediata risoluzione, procediamo a maggiorare $a_{N+1}$.
Osserva che $0\le \sin^{N+1}(x)\le 1\quad\forall x\in [0, \pi]\quad\forall N\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$
Pertanto, per la monotonia dell'operatore integrale si ha che:
$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{N+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}dx=\pi $
Dunque:
$a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}$
Affinché l'errore sia inferiore a 0.01, richiediamo che $a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}<\frac{1}{100}\implies $
$(N+1)!>\frac{100}{pi}$
Una volta trovata N hai finito.
$S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
Poni $S_N= \sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n}{n!}\int_{0}^{\pi}sin^n(x)dx$
Dal teorema di Leibniz sulle serie a segni alterni si ha che:
$|S-S_N|
dove nel nostro caso $a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)!}\int_{0}^{\pi}sin^(N+1)(x)dx$
Poiché l'integrale non è di immediata risoluzione, procediamo a maggiorare $a_{N+1}$.
Osserva che $0\le \sin^{N+1}(x)\le 1\quad\forall x\in [0, \pi]\quad\forall N\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$
Pertanto, per la monotonia dell'operatore integrale si ha che:
$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{N+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}dx=\pi $
Dunque:
$a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}$
Affinché l'errore sia inferiore a 0.01, richiediamo che $a_{N+1}<\frac{pi}{(N+1)!}<\frac{1}{100}\implies $
$(N+1)!>\frac{100}{pi}$
Una volta trovata N hai finito.
Che bella soluzione, grazie Mathita! Quindi al posto di calcolare l'integrale $ int_(0)^(pi) sin^n(x) dx $ posso direttamente definire la somma finita e applicare il criterio di Leibnitz! Una volta trovato $ N=5 $, poi devo fare comunque quegli integrali per approssimare il valore di quello di partenza, giusto?
Probabile che abbia fatto qualche errore, ma facendo la somma per n da 1 a 5 di SN mi viene -1,39 e ciò non mi sembra possibile. Passo qui i risultati degli integrali definiti:
$ int_(0)^(pi) sinx dx = 2 $
$ int_(0)^(pi) sin^2 x dx = pi/2 $
$ int_(0)^(pi) sin^3 x dx = 4/3 $
$ int_(0)^(pi) sin^4 x dx = 3/8pi $
$ int_(0)^(pi) sin^5 x dx = 16/15 $
Cosa sbaglio?
$ int_(0)^(pi) sinx dx = 2 $
$ int_(0)^(pi) sin^2 x dx = pi/2 $
$ int_(0)^(pi) sin^3 x dx = 4/3 $
$ int_(0)^(pi) sin^4 x dx = 3/8pi $
$ int_(0)^(pi) sin^5 x dx = 16/15 $
Cosa sbaglio?
Attenzione, $N=4$
Inoltre, $S_4=\sum_{n={\color{red}0}}^{4} \frac{(-1)^{n}}{n}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx=\frac{81}{64}\pi-\frac{20}{9} =[\mbox{ circa }]1.75386$
Mentre l'integrale $\int_{0}^{\pi}e^{-\sin(x)}dx = [\mbox{ circa }] 1.74617$.
La serie inoltre parte da 0 e non da 1 (errore mio, scusami, tento di correggere). Purtroppo non riesco a fare il simbolo "circa". Pensavo fosse simeq, ma non funziona.
Inoltre, $S_4=\sum_{n={\color{red}0}}^{4} \frac{(-1)^{n}}{n}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx=\frac{81}{64}\pi-\frac{20}{9} =[\mbox{ circa }]1.75386$
Mentre l'integrale $\int_{0}^{\pi}e^{-\sin(x)}dx = [\mbox{ circa }] 1.74617$.
La serie inoltre parte da 0 e non da 1 (errore mio, scusami, tento di correggere). Purtroppo non riesco a fare il simbolo "circa". Pensavo fosse simeq, ma non funziona.
Grazie Mathita, sono stato più distratto di quanto pensassi! In generale, quando ho un esercizio del genere, posso sempre considerare $ S_N $ anche se al suo interno c'è un integrale o c'è qualche condizione particolare che devo soddisfare? Non so se sono stato molto chiaro con questa domanda 
Osserva che, fissato $n\in\mathbb{N}$
$b_{n}=\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
è in realtà una successione, infatti, ad ogni numero naturale associ un numero reale, dato appunto dalla risoluzione dell'integrale stesso.
Per utilizzare il criterio di Leibniz, devi verificare che
$a_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
soddisfi le condizioni.
1. $a_{n}> 0\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è positiva)
2. $a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è decrescente)
3. $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ (la successione è infinitesima)
Dimostrare 1 e 3 è abbastanza facile, per 2 invece ti devi ingegnare un po'.
Io procederei così.
$0\le \sin(x)\le 1\quad\forall x\in[0,\pi]$
Moltiplico membro a membro per $\sin^n(x)$ che è un fattore non negativo in $[0,\pi]$ di conseguenza non inverte il verso delle disuguaglianze. Otterremo:
$0\le \sin^{n+1}(x)\le sin^{n}(x)$
L'operatore integrale mantiene le disuguaglianze, pertanto:
$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$
A questo punto divido membro a membro per (n+1)! ottenendo.
$0\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$
Osserviamo inoltre che da $(n+1)!\ge n!$ segue che $\frac{1}{(n+1)!}\le \frac{1}{n!}$
Pertanto vale la seguente catena di disuguaglianze
$0\le\overbrace{ \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx}^{a_{n+1}}\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\le \overbrace{\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx}^{a_n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$
Abbiamo finito.
$b_{n}=\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
è in realtà una successione, infatti, ad ogni numero naturale associ un numero reale, dato appunto dalla risoluzione dell'integrale stesso.
Per utilizzare il criterio di Leibniz, devi verificare che
$a_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^n(x)dx$
soddisfi le condizioni.
1. $a_{n}> 0\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è positiva)
2. $a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb{N}$ (la successione è decrescente)
3. $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ (la successione è infinitesima)
Dimostrare 1 e 3 è abbastanza facile, per 2 invece ti devi ingegnare un po'.
Io procederei così.
$0\le \sin(x)\le 1\quad\forall x\in[0,\pi]$
Moltiplico membro a membro per $\sin^n(x)$ che è un fattore non negativo in $[0,\pi]$ di conseguenza non inverte il verso delle disuguaglianze. Otterremo:
$0\le \sin^{n+1}(x)\le sin^{n}(x)$
L'operatore integrale mantiene le disuguaglianze, pertanto:
$0\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$
A questo punto divido membro a membro per (n+1)! ottenendo.
$0\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\quad\forall n\in\mathbb{N}$
Osserviamo inoltre che da $(n+1)!\ge n!$ segue che $\frac{1}{(n+1)!}\le \frac{1}{n!}$
Pertanto vale la seguente catena di disuguaglianze
$0\le\overbrace{ \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n+1}(x)dx}^{a_{n+1}}\le \frac{1}{(n+1)!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx\le \overbrace{\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}\sin^{n}(x)dx}^{a_n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$
Abbiamo finito.
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