Approssimare una funzione
Ciao a tutti 
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac{e^{x^2}-1}{x} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \)
Viene chiesto di trovare un intorno di $x_0=0$ e un polinomio di terzo grado che approssimi la funzione a meno di $10^{-3}$.
(Non sono assolutamente sicuro di quello che sto per scrivere)
Impiego Taylor con resto di Lagrange:
\(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \)
Come campione scelgo $g(t)=e^t$
$\Rightarrow g(t)=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}e^\xi$, $\forall t \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|<|t|$
$\Rightarrow e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}e^\xi$, $\forall x \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{e^{x^2}-1}{x}=\color{green}{x+\frac{x^3}{2}}\color{red}{+\frac{x^5}{6}e^\xi} \), $\forall x \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|
dove la parte verde è il polinomio e la parte rossa l'errore che commetto nell'approssimare la funzione. Ora devo trovare l'intorno. A questo punto so che
$|f(x)-P_3(x)|=\frac{|x|^5}{6}e^\xi$ che è $\le \frac{\delta^5}{6}e^\xi$ se $|x|<\delta$, e che a sua volta è $<\frac{\delta^5}{6}e$ (se $\delta<1$) $<\frac{\delta^5}{2}<10^{-3}$. Quest'ultima disequazione è vera solo se $\delta <\root{5}{\frac{1}{500}}$. Il mio intorno è $I=(-\delta, delta)$: scelgo $\delta = \root{5}{\frac{1}{500}}$, che è valido perché mantiene la condizione $\delta < 1$.
Perciò il mio intorno è
$(-\root{5}{\frac{1}{500}},+\root{5}{\frac{1}{500}})$.
Il mio polinomio finale è
\(\displaystyle \frac{e^{x^2}-1}{x}=x+\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{6}e^\xi \), $\forall x \in \mathbb{R}$, $|\xi|
E' corretto?
Ho la funzione
\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac{e^{x^2}-1}{x} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \)
Viene chiesto di trovare un intorno di $x_0=0$ e un polinomio di terzo grado che approssimi la funzione a meno di $10^{-3}$.
(Non sono assolutamente sicuro di quello che sto per scrivere)
Impiego Taylor con resto di Lagrange:
\(\displaystyle f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \)
Come campione scelgo $g(t)=e^t$
$\Rightarrow g(t)=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}e^\xi$, $\forall t \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|<|t|$
$\Rightarrow e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}e^\xi$, $\forall x \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{e^{x^2}-1}{x}=\color{green}{x+\frac{x^3}{2}}\color{red}{+\frac{x^5}{6}e^\xi} \), $\forall x \in \mathbb{R}$, $0<|\xi|
dove la parte verde è il polinomio e la parte rossa l'errore che commetto nell'approssimare la funzione. Ora devo trovare l'intorno. A questo punto so che
$|f(x)-P_3(x)|=\frac{|x|^5}{6}e^\xi$ che è $\le \frac{\delta^5}{6}e^\xi$ se $|x|<\delta$, e che a sua volta è $<\frac{\delta^5}{6}e$ (se $\delta<1$) $<\frac{\delta^5}{2}<10^{-3}$. Quest'ultima disequazione è vera solo se $\delta <\root{5}{\frac{1}{500}}$. Il mio intorno è $I=(-\delta, delta)$: scelgo $\delta = \root{5}{\frac{1}{500}}$, che è valido perché mantiene la condizione $\delta < 1$.
Perciò il mio intorno è
$(-\root{5}{\frac{1}{500}},+\root{5}{\frac{1}{500}})$.
Il mio polinomio finale è
\(\displaystyle \frac{e^{x^2}-1}{x}=x+\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{6}e^\xi \), $\forall x \in \mathbb{R}$, $|\xi|
E' corretto?
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