Approssimare un integrale

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

Ho la funzione
\[ f(x)= \int_x^{+\infty} g(t) dt= \int_x^{+\infty} \frac{\arctan{\frac{1}{t}}}{t^3-t} dt \]

Dopo averne determinato il dominio, devo calcolare il valore di $f(10)$ a meno di $10^{-3}$.

Per il dominio non credo di avere problemi: mi trovo il dominio di $g(t)$, calcolo i limiti per gli estremi e controllo la convergenza. Mi viene:

$\text{dom} g(t)=(-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0,1) \cup (1, + \infty)$

$\lim_{t \to 1^+} \frac{\arctan \frac{1}{t}}{t(t^2-1)}= \infty$ di ordine 2 $\to$ diverge

$\Rightarrow \text{dom} f(x)=(1, + \infty)$

Ho però problemi con l'approssimazione: non ho idea di come fare.

[gugo82]

Il dominio della funzione integrale coincide col più grande intervallo in cui l'integrando è impropriamente integrabile a cui appartiene il punto iniziale.
In particolare, la tua funzione integrale \(f\) è definita per \(x\in ]1,+\infty[\) e basta.

Per quanto riguarda l'approssimazione, nota che facendo il cambiamento di variabile \(t=\frac{1}{\tau}\) ottieni:
\[
f(x)=\int_0^{1/x} \frac{\tau\ \arctan \tau}{(1-\tau)(1+\tau)}\ \text{d} \tau
\]
e puoi ragionare sull'approssimazione sviluppando la funzione:
\[
\phi (y):= \int_0^y \frac{\tau\ \arctan \tau}{(1-\tau)(1+\tau)}\ \text{d} \tau
\]
in serie di MacLaurin.