Approssimare il valore di una funzione con la formula di Taylor con resto in forma di Lagrange
Ciao a tutti ragazzi! Innanzitutto complimenti per il forum! Volevo illustrarvi un problema inerente un'esercizio che come da titolo chiede di approssimare il valore di una funzione. In sostanza, ecco cosa chiede il testo:
"Si vuole approssimare [tex]e^{-\frac{1}{5}}[/tex] a meno di un errore inferiore, in modulo, a [tex]10^{-3}[/tex]. Per quale grado [tex]n[/tex] del polinomio di Maclaurin [tex]P_n[/tex] della funzione [tex]e^x[/tex], [tex]P_n(-\frac{1}{5})[/tex] dà l'approssimazione richiesta? Si tratta di una approssimazione per difetto o per eccesso? Scrivere [tex]P_n(-\frac{1}{5})[/tex] lasciando indicati i fattoriali e le potenze."
Quindi:
pongo [tex]e^{-\frac{1}{5}} = P_n(-\frac{1}{5})+E_n(-\frac{1}{5})[/tex]
Ora, il resto della formula di Taylor con resto in forma di Lagrange dice che esiste un [tex]a[/tex] in un dato intervallo mediante il quale si può scrivere la formula e risolvere il problema. Ma qual è l'intervallo da considerare? Ringrazio in anticipo!
P.S. Non ho postato soluzioni, perché mi blocco all'inizio!
"Si vuole approssimare [tex]e^{-\frac{1}{5}}[/tex] a meno di un errore inferiore, in modulo, a [tex]10^{-3}[/tex]. Per quale grado [tex]n[/tex] del polinomio di Maclaurin [tex]P_n[/tex] della funzione [tex]e^x[/tex], [tex]P_n(-\frac{1}{5})[/tex] dà l'approssimazione richiesta? Si tratta di una approssimazione per difetto o per eccesso? Scrivere [tex]P_n(-\frac{1}{5})[/tex] lasciando indicati i fattoriali e le potenze."
Quindi:
pongo [tex]e^{-\frac{1}{5}} = P_n(-\frac{1}{5})+E_n(-\frac{1}{5})[/tex]
Ora, il resto della formula di Taylor con resto in forma di Lagrange dice che esiste un [tex]a[/tex] in un dato intervallo mediante il quale si può scrivere la formula e risolvere il problema. Ma qual è l'intervallo da considerare? Ringrazio in anticipo!
P.S. Non ho postato soluzioni, perché mi blocco all'inizio!
Risposte
Ragazzi, se può essere utile, posto in allegato un esercizio svolto praticamente identico. Nonostante sia simile però, non riesco a capire come scegliere [tex]a[/tex] e come determinare l'intervallo
Qui Lagrange non c'entra nulla... Basta Leibniz.
Hai:
\[
e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ x^n
\]
quindi:
\[
e^{-1/5}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{5^n n!}\; .
\]
La serie a secondo membro è a segni alterni e convergente ed ad essa si applica il criterio di Leibniz.
Tale criterio si porta dietro la seguente stima del resto per una serie a segni alterni convergente:
\[
\left| s-\sum_{n=0}^N (-1)^n a_n\right|\leq a_{N+1}
\]
in cui \(s=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\), quindi nel tuo caso hai:
\[
\left| e^{-1/5} - \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{5^n n!}\right|\leq \frac{1}{5^{N+1} (N+1)!}\; .
\]
Conseguentemente affinché l'errore si mantenga nei limiti stabiliti basta determinare \(N\) in modo che:
\[
\frac{1}{5^{N+1} (N+1)!} <10^{-3}
\]
ossia:
\[
5^{N+1} (N+1)!>1000\; .
\]
Si vede con pochi tentativi che basta prendere \(N\geq 3\) per soddisfare la precedente; quindi puoi prendere \(N=3\) e come approssimazione:
\[
\sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{5^n n!}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{2!\ 5^2}-\frac{1}{3!\ 5^3}=\frac{307}{375}\; .
\]
Sempre per Leibniz, l'approssimazione determinata è certamente per difetto perché corrisponde ad un indice che fornisce un addendo negativo nella serie.
Facendo un po' di conti con qualche software, a mo' di conferma, trovi:
\[
\sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{5^n n!}=0.818\overline{6}
\]
ed \(e^{-1/5}\approx 0.818731\), sicché l'approssimazione trovata soddisfa quanto precedentemente determinato usando la sola teoria.
Hai:
\[
e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ x^n
\]
quindi:
\[
e^{-1/5}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{5^n n!}\; .
\]
La serie a secondo membro è a segni alterni e convergente ed ad essa si applica il criterio di Leibniz.
Tale criterio si porta dietro la seguente stima del resto per una serie a segni alterni convergente:
\[
\left| s-\sum_{n=0}^N (-1)^n a_n\right|\leq a_{N+1}
\]
in cui \(s=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\), quindi nel tuo caso hai:
\[
\left| e^{-1/5} - \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{5^n n!}\right|\leq \frac{1}{5^{N+1} (N+1)!}\; .
\]
Conseguentemente affinché l'errore si mantenga nei limiti stabiliti basta determinare \(N\) in modo che:
\[
\frac{1}{5^{N+1} (N+1)!} <10^{-3}
\]
ossia:
\[
5^{N+1} (N+1)!>1000\; .
\]
Si vede con pochi tentativi che basta prendere \(N\geq 3\) per soddisfare la precedente; quindi puoi prendere \(N=3\) e come approssimazione:
\[
\sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{5^n n!}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{2!\ 5^2}-\frac{1}{3!\ 5^3}=\frac{307}{375}\; .
\]
Sempre per Leibniz, l'approssimazione determinata è certamente per difetto perché corrisponde ad un indice che fornisce un addendo negativo nella serie.
Facendo un po' di conti con qualche software, a mo' di conferma, trovi:
\[
\sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n}{5^n n!}=0.818\overline{6}
\]
ed \(e^{-1/5}\approx 0.818731\), sicché l'approssimazione trovata soddisfa quanto precedentemente determinato usando la sola teoria.
Grazie mile gugo82 per la tua risposta precisa e dettagliata. Volevo chiederti se nel frattempo potevi dare un'occhiata all'allegato che ho postato che riguarda la risoluzione di un esercizio simile. Che ne pensi? È magari possibile svolgerlo anche in quel modo? Grazie mille! 
Ragazzi se può essere utile, posto l'esercizio che avevo inserito come allegato dato che non è più disponibile:
Si vuole approssimare $ ln(5/4) $ a meno di un errore inferiore, in modulo, a $ 10^-3 $ . Per quale grado $ n $ del
Polinomio di Taylor $ P_n $ della funzione $ ln x $, centrato nel punto $ x_0=1 $, $ P_n(5/4) $ da' l'approssimazione
richiesta? Si tratta di una approssimazione per difetto o per eccesso? Calcolare $ P_n(5/4) $ e indicare l'intervallo in cui si
trova il valore esatto di $ ln(5/4) $ in base alla stima effettuata.
Risoluzione: Posto $ln(5/4) = P_n(5/4) + E_n(5/4) $, il resto della formula di Taylor in forma di Lagrange ci assicura
che esiste $ c in (1,5/4) $ tale che:
$ E_n(5/4)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(5/4-1)^(n+1)= ((-1)^(n)n!)/(c^(n+1)(n+1)!)(1/4)^(n+1)=(-1)^n/(c^(n+1)4^(n+1)(n+1)) $
Allora, ricordando che $ c in (1,5/4), |E_n(5/4)| = 1/(c^(n+1)4^(n+1)(n+1))<1/(4^(n+1)(n+1))=:e_n $, quindi abbiamo:
$e_2=1/(4^(3)3)=1/(64cdot3)=1/192$, $e_3 = 1/(4^(4)4)=1/1024<10^-3$.
Quindi l'approssimazione richiesta ci è data dal polinomio di Taylor
$P_3(5/4)=(5/4-1)-1/2(5/4-1)^2+1/3(5/4-1)^3=1/4-1/2(1/4)^2+1/3(1/4)^3=1/4-1/32+1/192= (48-6+1)/192=43/192$
Inoltre $E_3(5/4) = (-1)^3/(c^(4)4)(1/4)^4<0 $ e $|E_n(5/4)|<=10^-3$, quindi si tratta di una approssimazione per eccesso
in quanto
$ln(5/4)=P_3(5/4)+E_n(5/4)43/(192)-10^-3$.
In definitiva risulta $ln(5/4) in (43/(192) -10^-3, 43/192)$.
Ora, tornando al mio esercizio, è possibile risolverlo seguendo questo procedimento risolutivo? Nella traccia dell'esercizio che devo svolgere cambia che in questo caso si tratta di un polinomio di Maclaurin $(x_0 =0) $ e anche l'ultima riga: se nell'esercizio svolto mi chiedeva di "indicare l'intervallo in cui si trova il valore esatto di $ ln(5/4) $ in base alla stima effettuata.", nel mio esercizio mi dice di calcolare $P_n(1/5) $ "lasciando indicati fattoriali e potenze.".. Questo non mi è molto chiaro. E, come detto, non riesco a determinare $ a $ quando devo determinare l'intervallo $ c in (a,x) $, dove in questo caso $x=1/5$. Ringrazio in anticipo!!
Si vuole approssimare $ ln(5/4) $ a meno di un errore inferiore, in modulo, a $ 10^-3 $ . Per quale grado $ n $ del
Polinomio di Taylor $ P_n $ della funzione $ ln x $, centrato nel punto $ x_0=1 $, $ P_n(5/4) $ da' l'approssimazione
richiesta? Si tratta di una approssimazione per difetto o per eccesso? Calcolare $ P_n(5/4) $ e indicare l'intervallo in cui si
trova il valore esatto di $ ln(5/4) $ in base alla stima effettuata.
Risoluzione: Posto $ln(5/4) = P_n(5/4) + E_n(5/4) $, il resto della formula di Taylor in forma di Lagrange ci assicura
che esiste $ c in (1,5/4) $ tale che:
$ E_n(5/4)=(f^((n+1))(c))/((n+1)!)(5/4-1)^(n+1)= ((-1)^(n)n!)/(c^(n+1)(n+1)!)(1/4)^(n+1)=(-1)^n/(c^(n+1)4^(n+1)(n+1)) $
Allora, ricordando che $ c in (1,5/4), |E_n(5/4)| = 1/(c^(n+1)4^(n+1)(n+1))<1/(4^(n+1)(n+1))=:e_n $, quindi abbiamo:
$e_2=1/(4^(3)3)=1/(64cdot3)=1/192$, $e_3 = 1/(4^(4)4)=1/1024<10^-3$.
Quindi l'approssimazione richiesta ci è data dal polinomio di Taylor
$P_3(5/4)=(5/4-1)-1/2(5/4-1)^2+1/3(5/4-1)^3=1/4-1/2(1/4)^2+1/3(1/4)^3=1/4-1/32+1/192= (48-6+1)/192=43/192$
Inoltre $E_3(5/4) = (-1)^3/(c^(4)4)(1/4)^4<0 $ e $|E_n(5/4)|<=10^-3$, quindi si tratta di una approssimazione per eccesso
in quanto
$ln(5/4)=P_3(5/4)+E_n(5/4)
In definitiva risulta $ln(5/4) in (43/(192) -10^-3, 43/192)$.
Ora, tornando al mio esercizio, è possibile risolverlo seguendo questo procedimento risolutivo? Nella traccia dell'esercizio che devo svolgere cambia che in questo caso si tratta di un polinomio di Maclaurin $(x_0 =0) $ e anche l'ultima riga: se nell'esercizio svolto mi chiedeva di "indicare l'intervallo in cui si trova il valore esatto di $ ln(5/4) $ in base alla stima effettuata.", nel mio esercizio mi dice di calcolare $P_n(1/5) $ "lasciando indicati fattoriali e potenze.".. Questo non mi è molto chiaro. E, come detto, non riesco a determinare $ a $ quando devo determinare l'intervallo $ c in (a,x) $, dove in questo caso $x=1/5$. Ringrazio in anticipo!!
Il mio quesito è: tenendo ben presente la soluzione postata da gugo82, è possibile risolvere l'esercizio come quello che ho postato? Ringrazio in anticipo
Non vedo tutto questo bisogno di uppare.
Infatti, basta fare copia/incolla dallo svolgimento che già hai...
Hai:
\[
e^x = \sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!} + \frac{e^c}{(N+1)!}\ x^{N+1}
\]
con \(c\in [\min \{0,x\}, \max \{0,x\}]\); prendendo \(x=1/5\):
\[
e^{-1/5} = \underbrace{\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{5^n\ n!}}_{:=P_N(-1/5)} + \frac{(-1)^{N+1} e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
per un opportuno \(c\in [-1/5,0]\), sicché:
\[
\left| e^{-1/5}-P_N(-1/5)\right| = \frac{e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}\; .
\]
Dato che \(e^x\) è funzione crescente e che \(c\in [-1/5,0]\), hai:
\[
\frac{e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}\leq \frac{1}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
quindi:
\[
\left| e^{-1/5} - P_N(-1/5)\right| \leq \frac{1}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
e concludi, come nel mio post precedente, che basta prendere \(N=3\) per ottenere l'approssimazione richiesta.
Inoltre, dato che:
\[
e^{-1/5}-P_3(-1/5) = \frac{(-1)^4 e^c}{5^4\ 4!}>0
\]
(tutti i fattori a secondo membro sono positivi, anche senza conoscere esplicitamente \(c\)), concludi che l'approssimazione è per difetto.
Infatti, basta fare copia/incolla dallo svolgimento che già hai...
Hai:
\[
e^x = \sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!} + \frac{e^c}{(N+1)!}\ x^{N+1}
\]
con \(c\in [\min \{0,x\}, \max \{0,x\}]\); prendendo \(x=1/5\):
\[
e^{-1/5} = \underbrace{\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{5^n\ n!}}_{:=P_N(-1/5)} + \frac{(-1)^{N+1} e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
per un opportuno \(c\in [-1/5,0]\), sicché:
\[
\left| e^{-1/5}-P_N(-1/5)\right| = \frac{e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}\; .
\]
Dato che \(e^x\) è funzione crescente e che \(c\in [-1/5,0]\), hai:
\[
\frac{e^c}{5^{N+1}\ (N+1)!}\leq \frac{1}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
quindi:
\[
\left| e^{-1/5} - P_N(-1/5)\right| \leq \frac{1}{5^{N+1}\ (N+1)!}
\]
e concludi, come nel mio post precedente, che basta prendere \(N=3\) per ottenere l'approssimazione richiesta.
Inoltre, dato che:
\[
e^{-1/5}-P_3(-1/5) = \frac{(-1)^4 e^c}{5^4\ 4!}>0
\]
(tutti i fattori a secondo membro sono positivi, anche senza conoscere esplicitamente \(c\)), concludi che l'approssimazione è per difetto.
Grazie mille, gugo82, sei veramente eccezionale, (anche se non avevo capito la frase che hai scritto all'inizio.. Ho uppato per far rimanere la discussione in evidenza; in che senso avrei dovuto fare copia/incolla? Dato che sei moderatore globale, ti chiedo venia se ho sbagliato qualcosa a riguardo 
persone come te sono veramente molto importanti nel forum, visto il grande impegno profuso nel forum stesso 
persone come te sono veramente molto importanti nel forum, visto il grande impegno profuso nel forum stesso
Prego.
Qui:
intendevo dire che, praticamente, bastava ripetere verbatim il ragionamento già fatto nell'esercizio linkato per risolvere pure quello assegnato; quindi non c'era bisogno di uppare, ti bastava provare a ripetere il ragionamento nel tuo caso e poi chiedere conferma.
Qui:
"gugo82":
Non vedo tutto questo bisogno di uppare.
Infatti, basta fare copia/incolla dallo svolgimento che già hai...
intendevo dire che, praticamente, bastava ripetere verbatim il ragionamento già fatto nell'esercizio linkato per risolvere pure quello assegnato; quindi non c'era bisogno di uppare, ti bastava provare a ripetere il ragionamento nel tuo caso e poi chiedere conferma.
Ahhh ok non avevo capito.. Il fatto è che mi bloccavo, come avrai sicuramente notato, nella scelta dell' estremo dell'intervallo, che poi ho capito doveva essere $0$ (io avevo considerato l'intervallo $(a, -1/5)$ e non riuscivo a determinare l'intervallo giusto, perchè era $(-1/5, 0)$ quindi $a$ estremo superiore e uguale a $ 0$. Ecco perchè non ero andato avanti nella risoluzione dell'esercizio
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