Approssimare il seno con polinomi

[robbstark1]

Propongo un paio di esercizi, sui quali vorrei delle conferme:

1. Sia $s_n (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$.
Trovare $s_1$ ed $s_3$ che meglio approssimano la funzione $f(x)=sen x$, $-pi <= x <= pi$, nel senso di $L_2$.
Io ho svolto ciecamente i calcoli, ottenendo:
$s_1(x) = 3/(pi^2) x$ e $s_3(x)= ((315)/2 pi^2 - (15)/(2 pi^2)) x + (175)/(2 pi^6) ((pi^2)/5 -3) x^3 $
Al di là dei calcoli, che comunque non mi dispiacerebbe confrontare, mi chiedevo:
a. Il fatto che il coefficiente del termine di primo grado è diverso per $s_1$ ed $s_3$ è legato al fatto che $x$ e $x^3$ non sono ortogonali?
b. Come giustifichereste formalmente il fatto che le approssimazioni sono funzioni dispari?


2. Trovare $s_1$ che minimizzi il $max |s_1(x) - sen x |$.
Per questo, con un po' di ragionamenti grafici, ho dedotto che $s_1(x) = a_1 x$ con $0 Inoltre posso limitarmi a studiare $0 <= x <= pi$. In questo intervallo la retta interseca il seno nell'origine e in un altro punto. Si avrà un massimo scarto in questa zona per $x= arccos a_1$, e uno, dopo l'intersezione, che ovviamente cadrà sul bordo $x= pi$. L'idea è che il massimo assoluto si minimizza quando questi due massimi si eguagliano, da cui ottengo l'equazione:
$ (1-a_1^2)^(1/2) - a_1 arccos a_1 = a_1 pi$.
Purtroppo questa equazione non sembra avere una soluzione "elementare", ma andrebbe risolta numericamente.
Il procedimento seguito e l'equazione ottenuta sono corretti?

[dissonance]

1a.) Si. Questo significa che se vuoi aumentare il grado dell'approssimazione ti tocca rifare tutti i calcoli da zero. Un validissimo motivo per cui pure nel calcolo numerico si studiano a fondo i sistemi ortonormali di funzioni.

2b.) Sono dispari perché anche il seno lo è, e perché il sottospazio delle funzioni dispari è chiuso in \(L^2([-a, a])\). Questo segue dal fatto che la mappa

\[f(x) \mapsto \frac{f(x)-f(-x)}{2}, \]

è un proiettore ortogonale e che il suo rango è proprio il sottospazio delle funzioni dispari.

(PS: A ripensarci non sono troppo sicuro che sia tanto ovvio. Il motivo per cui le approssimanti sono dispari è chiaramente questo, ma la dimostrazione forse richiede qualcosa in più. Ora non vorrei andare oltre perché è tardi.)

[robbstark1]

Intanto grazie. Per quanto riguarda la giustificazione del fatto che le funzioni approssimanti sono dispari (1b), io avevo pensato così:
Le funzioni pari sono ortogonali rispetto a quelle dispari e quindi le approssimazioni sono indipendenti. Data $f$ pari, essendo il seno dispari, si ha:
$int_{-pi}^{pi} | sen x - f(x) |^2 dx = int_{0}^{pi} ( sen x - f(x) )^2 + ( sen x + f(x) )^2 dx = 2 int_{0}^{pi} sen^2 x + f(x)^2 dx$
e questo ovviamente è minimo se $f -= 0 $.

[dissonance]

SI, certo, va bene. (Solo una cosina: "Le approssimazioni sono indipendenti" che significa? Suppongo tu voglia dire che l'elemento di migliore approssimazione è la somma della migliore approssimazione pari e della migliore approssimazione dispari. Questo fatto è sicuramente vero però lo dovresti dimostrare, se proprio vuoi essere rigoroso.)

Sugli altri punti in questo momento non ti so dire.

[robbstark1]

"dissonance":SI, certo, va bene. (Solo una cosina: "Le approssimazioni sono indipendenti" che significa? Suppongo tu voglia dire che l'elemento di migliore approssimazione è la somma della migliore approssimazione pari e della migliore approssimazione dispari. Questo fatto è sicuramente vero però lo dovresti dimostrare, se proprio vuoi essere rigoroso.)

E' proprio quello che intendo dire. La dimostrazione starebbe nel fatto che le funzioni pari sono ortogonali rispetto alle funzioni dispari.